Dedekind-Como la construcción de la p-ádico números

Question

Recientemente he estado estudiando p-ádico números. Entiendo la idea de un cauchy finalización de los racionales con respecto a la métrica definida por la norma $\vert\vert \cdot \vert \vert_p $. Cuando yo estaba estudiando los números reales me encontré con que la comprensión tanto de la finalización de cauchy y la construcción explícita el uso de Dedekind recortes a ser muy esclarecedor.

Mi pregunta es: ¿hay un conjunto explícito de teoría de la construcción de la p-ádico números de otros análogos para la construcción de los números reales utilizando Dedekind cortes.

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Edit: Para aclarar mi pregunta.

• Sé que el p-ádico números no son un orden de campo.

• No estoy preguntando si hay una construcción de la p-ádico números que utiliza el orden de los racionales (que es como Dedekind el enfoque de la $\mathbb{R}$ funciona).

• Lo que yo quiero es una construcción de la p-ádico números que es más que sólo "$\mathbb{Q}_p$ es la de cauchy de la finalización de $\mathbb{Q}$ con respecto al $d(x,y)=\vert \vert x-y \vert \vert_p $". La frase es verdadera, pero en mi opinión no es muy esclarecedor desde la misma frase en la que trabajo para la realización de cualquier espacio métrico.

Answer 1

Yo no sé mucho acerca de la $p$-ádico números, pero sé acerca de la dualidad de Pontryagin, así que me voy a swing que el martillo! Podemos construir el anillo de $p$-ádico enteros como el doble de una estructura destilado a partir de los números racionales.

La dualidad? ¿Responde esto a tu pregunta? Tal vez no suene como es análogo a la construcción de los números reales utilizando Dedekind cortes. Así que aquí es un resumen de la Dedekind construcción que se inclina a hacer comparaciones futuras más fácil:

1. Representar cada número racional $x\in \mathbb Q$ como abrir ray $(-\infty,x)\subset\mathbb Q$.
2. La colección de todos los conjuntos de $(-\infty,x)\subset\mathbb Q$ no nos lleva a ninguna parte, ya que el supremum recupera $x$.
3. La colección de todos los conjuntos que se parecen a $(-\infty,x)$ -- el vacío, hacia abajo-cerrado, adecuado subconjuntos sin mayor elemento, es una colección más grande, que nos convierten en $\mathbb R$.
4. $\mathbb R$ es un orden de campo. La multiplicación es un dolor, pero al final llegamos allí.

Ahora, exactamente cómo se hizo esta construcción utiliza la orden binario relación $<$? El rayo $(-\infty,x)$ es el conjunto de todos los $a$ tal que $a<x$. Subconjuntos son equivalentes a unario relaciones, por lo que en la práctica hemos representado $x$ por la unario relación $\bullet<x$. En una única fórmula, la Dedekind la incorporación de la $\mathbb Q$ a $\mathbb R$ es generado por $x\mapsto(\bullet<x)$.

Bien, si estamos buscando extender $\mathbb Q$ en una manera que no respete el orden de la relación, ¿qué otros símbolos binarios qué tenemos que trabajar? Hay, además, $x\mapsto(\bullet+x)$. Vamos a intentarlo:

1. Representar cada número racional $x\in\mathbb Q$ como la traducción de $(\bullet+x):\mathbb Q\to\mathbb Q$ definido por $a\mapsto a+x$.
2. La colección de todas las "traducciones" del grupo $(\mathbb Q, +)$ no nos lleva a ninguna parte, ya que la imagen de $0$ recupera $x$. (Esto probablemente podría ser hecho preciso, pero aparte de el punto).
3. Rendirse. El número de $0$ es un problema, y no es fácil deshacerse de él sin destruir la totalidad de la estructura.

Así que vamos a intentar multiplicación, $x\mapsto(\bullet\times x)$.

1. Representar cada número racional $x\in\mathbb Q$ como aditivo-grupo endomorfismo $a\mapsto a\times x$.
2. La colección de todos los endomorphisms del grupo $(\mathbb Q, +)$ no nos lleva a ninguna parte, ya que la imagen de $1$ recupera $x$. (No obvio, pero es la verdad).
3. Desde $1$ es un problema, aniquilarlo! Considere en su lugar el endomorfismo anillo de $\mathbb Q/\langle1\rangle = \mathbb Q/\mathbb Z$. Este anillo es una de las más interesantes de la estructura, que se identifica como $\hat{\mathbb Z}$.
4. Oh, usted quería un campo? Eso es cuando usted tiene un elegir un primer número $p$. Tenemos $\hat{\mathbb Z}\cong\prod_p\mathbb Z_p$, donde cada una de las $\mathbb Z_p$ es una parte integral de dominio, por lo que podemos formar su campo de fracciones, $\mathbb Q_p$.

Esa es la analogía! Un poco más de forma directa para obtener la $\mathbb Z_p$ es tomar el endomorfismo anillo de la Prüfer $p$grupo $\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z$, que es el conjunto de los números racionales con $p$-potencia denominadores, modulo $1$. Una bonita propiedad de esta construcción es que cada persona $p$-ádico entero y $p$-ádico número es representado como un hereditariamente contables conjunto:

• Explícitamente, una $p$-ádico número es una relación de endomorphisms de un subgrupo de un cociente de los racionales.

Esto podría no ser tan simple como un número real de ser un subconjunto de los racionales, pero es similar. Por el contrario, en la de Cauchy terminar, cada número se representa como una innumerable colección de secuencias.

Finalmente, para explicar por qué he mencionado la dualidad, $\mathbb Z_p$ es el Pontryagin doble de la (discreta) de Prüfer $p$-grupo. El doble es esencialmente define como un grupo de homomorphisms $\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z\to\mathbb R/\mathbb Z$, y la imagen de cada homomorphism se encuentra en $\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z$ todos modos, así que recuperar el grupo de endomorphisms, que bien podría equipar con su natural estructura de anillo.

(Sospecho que estos mano saludando contorsiones mirada horriblemente hacia atrás a un experto. Si es así, me disculpo; sólo estoy tratando de hacer el ajuste de la construcción de la analogía tan bien como sea posible, no es especialmente elegante y sencillo.)

Answer 2

He aquí otra construcción. Voy a exponer $\mathbb Z_p$ como el endomorfismo anillo de un determinado grupo abelian, $T$ ("torsión"), las cuales voy a describir de dos maneras. La primera definición de $T$ es que el es $\mathbb Z[1/p]\,/\,\mathbb Z$, y por $\mathbb Z[1/p]$ me refiero a los racionales con sólo los poderes de $p$ en el denominador. Usted puede ver que esto es un múltiplo de grupo (para cada $z\in T$ y cada una de las $m>0$,$z'\in T$$mz'=z$).

La otra definición de $T$ solo es el conjunto de todos los $p$-potencia raíces de la unidad en la $\mathbb C$. Ahora $T$ está escrito multiplicatively, por supuesto, y usted puede conseguir un isomorfismo entre los dos construyó grupos tomando el número racional $r/p^n$$e^{2ri\pi/p^n}$.

Tal vez es más fácil pensar de $T$ como los racionales con sólo $p$-poderes en el denominador, modulo $\mathbb Z$. Cada subgrupo $C_n=(p^{-n}\mathbb Z)/\mathbb Z$ es característico y debe estar asignado al mismo endomorfismo de $T$, por lo que tenemos algo que da consistente endomorphisms de estos grupos cíclicos de orden $p^n$. Pero el endomorfismo anillo de un grupo cíclico $C_n$ orden $p^n$ es sólo $\mathbb Z/(p^n)$. De ver las cosas, y ver que un endomorfismo de $T$ es sólo un elemento de $\text{projlim}_n(\mathbb Z/(p^n))$, con respecto a la natural mapas de $\mathbb Z/(p^{n+1})\to\mathbb Z/(p^n)$

No hay duda de que esto es más difícil de ver que la de Cauchy-secuencia de la construcción, pero la mirada en las cosas por un tiempo, y ver que son la misma.

Answer 3

No es Dedekind-como el de la construcción, pero es genial, creo que usted debe saber (si no ya).

Primero de todo, el producto cartesiano de espacios topológicos o, simplemente, Tikhonov producto $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$.
Es el espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ que es la familia de espacios topológicos $\{(X_\alpha,\mathcal{T}_\alpha)\;|\; \alpha\in A\}$
La base de la Tikhonov producto es la familia de todos los conjuntos de $\pi_{\alpha_1}^{-1}(U_{\alpha_1})\cap\cdots\cap \pi_{\alpha_n}^{-1}(U_{\alpha_n})$ donde $\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\in A$ - es el conjunto finito de elementos de $A$, $U_{\alpha_i}$ es un elemento de la topología $\mathcal{T}_{\alpha_i}$ $\pi_{\alpha_i}$ es natural proyección de mapeo $(X,\mathcal{T}) \to (X_{\alpha_i},\mathcal{T}_{\alpha_i})$.

Ahora supongamos conjunto $S$, $|S|=n$ y dejar de ser un discreto espacio topológico. Vamos, a continuación, $X_n$ ser un Tikhonov producto de countably muchas copias de $S$ - sólo una familia de secuencias.
Y tenemos que el conjunto de p-ádico enteros $\mathbb Z_p$ es homeomórficos a $X_n$ natural.

Entonces, el conjunto de Cantor - $C$. Contiene los números de $[0,1]$ que posiblemente sólo $0$'s y $2$'s en términos de la base 3 de la notación.

Ahora podemos construir una función $f: X_2 \to C$, lo cual transforma la secuencia de $\{a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots\}$ a $0.a_1a_2\ldots a_n\ldots$. Es un bijection y $f$ $f^{-1}$ son continuas.

Por eso, $\mathbb Z_2$ es homeomórficos al conjunto de Cantor.

Supongamos ahora un árbol infinito. Tiene una raíz y todos los otros vértices se clasifican en inconexos contables de la unión finita de conjuntos de $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ - los vértices de la primera, segunda, etc. niveles.
Deje $P$ ser el conjunto de todos los posibles caminos que en este árbol desde la raíz que ir a través de un vértice de cada nivel. Y dejar que los subconjuntos de caminos, donde el jefe de ruta (de cierta longitud) es fijo y el cuento es cualquiera, ser la base de la topología en $P$.

Ahora tenemos, que $P$ es homeomórficos a $\prod_{i=1}^\infty A_i$ si no se $|A_1|$ bordes de la raíz de primer nivel vértices, exactamente $|A_2|$ bordes de cada vértice del primer nivel al segundo y etc.

Es relativamente fácil demostrar que para cualquier árbol (el cual tiene al menos dos bordes para el siguiente nivel de cada vértice) $P$ es homeomórficos al conjunto de Cantor.

Así, como consecuencia de ello, el anillo de $\mathbb Z_p$ de p-ádico números enteros es homeomórficos al conjunto de Cantor.

También hay un resultado que $\mathbb Q_p$ es homeomórficos al conjunto de Cantor sin un punto.

El libro de Robert, Alain M. Un Curso en p-ádico de Análisis podría ser realmente útil.

Espero que esto sea útil para usted.

Answer 4

Ampliando el comentario de Bruno Joyal, en ${\Bbb R}$ la topología usual (abierto conjuntos definidos a través de las bolas $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ en la habitual distancia) y el orden de la topología (intervalos abiertos (a,b) forman una base de la topología) son obviamente los mismos.

EDIT: tal vez no muy enlighting, pero diferente. Como límite inversa (universal propiedad/resumen tontería): http://math.arizona.edu/~gradprogram/talleres/integración/2003/p-adicsProject.pdf.

Y en el Dedekind corta el orden es esencial...