Encontrar todas las funciones completas $f$ tal que $f^{(n)}(z) = z$ para todos $z$ , $n$ siendo un número entero positivo dado

Question

Encontrar todas las funciones completas $f$ tal que $f^{(n)}(z) = z$ para todos $z$ , $n$ siendo un determinado número entero positivo.

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No puedo pensar que tal función exista o no.Puede alguien ayudarme por favor

Answer 1

Desde $f$ es completa, tiene un desarrollo en serie $$f(z) = a_0 + a_1 z \ + ...$$ Pero entonces la ecuación $f^{(n)}(z)=z$ implica $$f(z) = a_0 + a_1 z + ... + a_{n-1} z^{n-1} + {z^{n+1} \over {(n+1)!}}$$

Answer 2

Una pista: $$f^{(n+1)}(z)=\frac{d f^{(n)}}{dz} (z)=\frac{dz}{dz}=1$$

Answer 3

Lema. Si $(g-h)'(z)=0$ entonces $(g-h)(z)=c$ así que $g(z)=h(z)+c$ .

Una pista. Utilice el lema anterior junto con un argumento inductivo para demostrar que $f$ debe ser un polinomio de grado $n+1$ .

Answer 4

Considere el ejemplo $f'''(z) = z$ . La integración da $f''(z) = \frac{1}{2}z^2+c_1$ y a su vez:

$$f'(z) = \frac{1}{6}z^3+c_1z+c_2 \, . $$

Integrar una última vez da:

$$f(z) = \frac{1}{4!}z^4+\frac{c_1}{2}z^2+c_2z+c_3 \, . $$

En general, si $f^{(n)}(z)=z$ entonces podemos integrar $n$ veces para darnos a nosotros mismos:

\begin{array}{ccc} f(z) &=& \frac{1}{(n+1)!}z^{n+1}+\frac{c_1}{(n-1)!}z^{n-1}+\frac{c_2}{(n-2)!}z^{n-2}+\cdots + c_{n-1}z+c_n \\ f(z) &=& \frac{1}{(n+1)!}z^{n+1} + b_1z^{n-1}+b_2z^{n-2}+\cdots+b_{n-1}z+b_n \end{array}

Todos estos son polinomios, y por lo tanto son enteros. Puedes elegir las constantes $b_i \in \mathbb{C}$ como quieras. Obviamente, el caso más sencillo sería $b_i = 0$ para todos $i$ y por lo tanto:

$$f(z) = \frac{1}{(n+1)!}z^{n+1} \, . $$