Por favor, si alguien puede ayudarme a explicar este concepto, no puedo seguir adelante debido a esto....
Dejemos que $h(n)$ denotan el número de vías que dividen una región poligonal convexa con $(n+1)$ lados en regiones triangulares insertando diagonales que no se cruzan en el interior.
Lo suponemos: $h(1)=1$ entonces la fórmula es:
$$h(n)=\sum_{k=1}^{n-1}h(k)h(n-k)$$Prueba :
$$\text{for}~~n=1,h(1)=1,$$ $$n=2,h(2)=1$$
$\text{for}n\geq3,$ considere $a(n+1)$ polígono decir $[A_1 ~~A_2A_3 \ldots A_{n+1}]$para cualquier $k$ con $1\leq k\leq n-1$ Elegimos $C$ tal que si nos movemos en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de los vértices del polígono tenemos :=
$A=A_1,A_2,A_3\ldots,C=A_{k+1},A_{k+2}\ldots ,A_{n+1}=B$formas de dividir $R_1$ en triángulos - $h(k)$ y
formas de dividir $R_2$ en triángulos $h(n-k)$$\therefore $ número de vías = $h(k)h(n-k)$ para cualquier k dado con $1\leq k\leq n-1$ elegimos $C$ tal que : $$A=A_1,C=A_{k+1},B=A_{n+1}$$
El triángulo $T=[A,B,C]$ divide la región poligonal en $3$ partes .
$R_1,T$ y $R_2$ con :
$R_1$ $(k+1)$ polígono
$R_2$ $(n+k-1)$ polígono.El número de formas de dividir $R_1$ en $\triangle$ 's= $h(k)$
El número de formas de dividir $R_2$ en $\triangle$ 's= $h(n+k)$ .El número de triangularización del polígono tal que :=
$T=[A_1,A_{k+1},A_{n+1}]$ , $1\leq k\leq n-1$es uno de $\triangle=h(k)h(n-k)$
$\therefore$ número total de vías= $\sum_{k=1}^{n-1}h(k)h(n-k)$
Puede alguien explicarme los pasos de la prueba, ya que no consigo entender cómo se obtiene el número de formas de triangularización .........
