Grupos de homotopía de algunos monopolos magnéticos

Question

Esta es una lista de homotopy grupos que yo (como la física investigador) encuentro a la hora de estudiar monopolo magnético bajo cierta configuración de medidor de campo de los perfiles.

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\begin{gather} \pi_2(SU(2)/U(1)) \simeq \pi_2(S^2) \simeq Z.\\ \pi_1(SU(2)/U(1)) \simeq \pi_1(S^2) \simeq 0\\ \pi_1(U(1)/Z_N) \simeq \pi_1(S^1) \simeq Z\\ \pi_1(SU(2)/Z_N) \simeq Z_N ?\\ \pi_2(SU(2)/Z_N) \simeq ?\\ \pi_n(SU(2)/Z_N) \simeq ? \end{reunir}

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Supongo que se puede derivar la $(SU(2)/U(1))\simeq S^2$$U(1)/Z_N \simeq U(1) \simeq S^1$. Así que puedo entender que el primero de los tres(?).

Cómo acerca de:

(a)$\pi_1(SU(2)/Z_N) \simeq Z_N$?

(b)$\pi_2(SU(2)/Z_N) \simeq $?

(b)$\pi_n(SU(2)/Z_N) \simeq $?

(es que $\pi_2(SU(2)/Z_N) \simeq Z \times Z_N$? es que $\pi_3(SU(2)/Z_N) \simeq 0$?)

Ninguna explicación puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Aquí es la herramienta básica. Que $F\rightarrow X\rightarrow B$ sea una fibración con colectores de $X$, #% y $B$ $F$. Hay una secuencia exacta de largo de homotopía grupos $$\cdots\rightarrow\pi_n(F)\rightarrow\pi_n(X)\rightarrow\pi_n(B)\rightarrow\pi_{n-1}(F)\rightarrow\cdots.$$ Also, if $G$ is a Lie group and $H$ is a closed subgroup, then $G\rightarrow G/H$ is a fibration with fiber $H$. So, you should get $$\cdots\rightarrow\pi_n(H)\rightarrow\pi_n(G)\rightarrow\pi_n(G/H)\rightarrow\pi_{n-1}(H)\rightarrow\cdots.$$ In your examples, $H$ is a finite discrete subgroup, so $\pi_0 (H) = H$ es su grupo de homotopía solamente distinto a cero. Consideraciones de exactitud deberían permitirle calcular tus grupos de homotopía.

Answer 2

Mientras que la secuencia de tiempo exacta de los grupos de homotopía de fibraciones es la herramienta adecuada en general, aquí podemos utilizar argumentos más elementales. Tenga en cuenta que $SU(2)$ es la tapa universal de $SU(2)/Z_N$ (el mapa del cociente es un mapa de cobertura) para que

• $\pi_1(SU(2)/Z_N)=Z_N$
• $\pi_k(SU(2)/Z_N)\cong \pi_k(SU(2))$ (cualquier continua mapa $S^k\to SU(2)/Z_N$ levanta a un $S^k\to SU(2)$), $k>1$.

Por lo tanto, es trivial $SU(2)$ siendo una copia de $S^3$, $\pi_2(SU(2)/Z_N)$ y $\pi_3(SU(2)/Z_N)\cong\mathbb{Z}$.