Encontrar el MCD de $10$ enteros

Question

Encontrar el máximo común divisor de los siguientes diez enteros:\begin{align} & 2000^3+3\cdot2000^2+2\cdot2000,\ 2001^3+3\cdot2001^2+2\cdot2001,\ \dots, \\[5pt] & \dots, \ 2008^3+3\cdot2008^2+2\cdot2008,\ 2009^3+3\cdot2009^2+2\cdot2009. \end {Alinee el}

¿Cómo son estos números relacionados entre sí? ¿Hay una fórmula para esto?

Answer 1

Tienes $n(n+1)(n+2)$$n=2000,\ldots,2009$. Desea divisores de que todos comparten en común.

Dados tres números enteros consecutivos, exactamente uno de ellos es divisible por $3$; por lo tanto, su producto es divisible por $3$. Que es cierto de todas las $10$ de los productos, por lo $3$ es un divisor común. Entre los diez productos, hay algunos, como el $2000\times2001\times2002$ que $9$ no es un divisor. Por lo tanto, la potencia máxima de $3$ que divide a todos los diez productos es $3$ sí.

Si $n$ es aún lo es $n+2$, y uno de ellos es divisible por $4$ y el otro no, por lo que el producto es divisible por $8$. Pero si $n$ es impar, entonces es $n+2$, e $n+1$ es incluso. Entre los casos donde $n+1$ es incluso, tenemos $n+1=2002$, que no es divisble por $4$, lo $4$ no es un divisor común de todos los diez productos. El mayor poder de $2$ que divide a todos los diez productos es $2$ sí.

El siguiente número primo es $5$. Algunos de estos productos no son divisibles por $5$; por ejemplo, $2001\times2002\times 2003$ no lo es. Por lo $5$ no es un divisor común.

$7$ divide $2002$ $2009$ y nada entre aquellos, por lo $2003\times2004\times2005$ no es divisible por $7$.

El siguiente primo es $11$. Este se divide $2002$ pero nada más hasta llegar a a $2013$, que no está incluido, por lo $11$ no divide $2003\times2004\times 2005$. De manera similar se puede descartar todos los grandes números primos comunes divisores.

Por lo tanto, la g.c.d. es $2\times3=6$.

Answer 2

Deje $n=2000$; el primer número es $n^3+3n^2+2n$ y el segundo número es $(n+1)^3+3(n+1)^2+2(n+1)$, por lo que su diferencia es $$(n+1)^3-n^3+3(n+1)^2-3n^2+2(n+1)-2n=3n^2+9n+6$$ El tercer número es $(n+2)^3+3(n+2)^2+2(n+2)$ y la diferencia con el primer número es $$(n+2)^3-n^3+3(n+2)^2-3n^2+2(n+2)-2n=6n^2+24n+24$$ El dpc debe ser un divisor de $$(6n^2+24n+24)-2(3n^2+9n+6)=6n+12=6(n+2)$$ El mismo cálculo de $n=2001$ se muestra en el dpc debe ser un divisor de a$6\cdot2002$$6\cdot2003$, pero $2002$ $2003$ son coprime.

Por lo tanto el mcd es un divisor de a $6$; ahora, $n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)$, así que...

Answer 3

Cumple con la secuencia $\,f_n = n(n\!+\!1)(n\!+\!2)\,$ $\,\nabla^3 f_n = 6,\,$ donde $\,\nabla f_n := f_{n+1}-f_n,\,$ % por lo tanto, $\,d \mid f_n,f_{n+1},f_{n+2},f_{n+3}\,\Rightarrow\,d\mid \nabla^3 f_n = 6.\,$por el contrario $\ 6\mid f_n = 3!{n+2\choose 3}\ $ % todo $\,n.$

Por lo tanto, más en general $\ k\ge 3\,\Rightarrow\,\gcd(f_n,f_{n+1},\ldots,f_{n+k})= 6$