Evaluar la integral, $\int_0^{\infty} \frac{x^2}{(x+c)^{3/2}}\,e^{-x^2} dx$, donde c>0

Question

Esta integral se acercó en un problema de investigación en el que estoy trabajando, pero no he tenido mucha suerte de calcular. Sospecho que la integral no tienen una forma limpia, pero si alguien sabe de una fácil sustitución o de algún modo elemental para evaluar esta integral, sería muy útil.

Gracias!

Answer 1

Denotar $b[x]:=\; \text{BesselI}\left(x,\frac{c^2}{2}\right)$$h:=\text{HypergeometricPFQ}\left[\left\{\frac{3}{2},2\right\},\left\{\frac{5}{4},\frac{7}{4}\right\},-c^2\right]$. A continuación (de acuerdo a mathematica)

$$\int\limits_0^\infty\frac{x^2}{(x+c)^{3/2}}e^{-x^2}=\\ \frac{e^{-\frac{c^2}{2}} \left(3 \pi \left(c^2 \left(-3+4 c^2\right) b[-1/4]+\left(1-7 c^2+4 c^4\right) b[1/4]-c^2 \left(-1+4 c^2\right) \left(b[3/4]+b[5/4]\right)\right)+64 c^2 e^{\frac{c^2}{2}} h\right)}{12 \sqrt{c}} $$

Estoy absolutamente seguro de que esto no te ayuda en absoluto. Lo siento mucho decepcionarte, pero no sé cómo esto se puede hacer. Sé impropias Integrales se resuelven normalmente mediante la integración de más de semi-círculos en el espacio complejo, sin embargo, que no es fácil de hacer para esta función.