¿Cuál es la integral de $x(1-x)^8$ ?

Question

Quiero encontrar la integral de $x (1-x)^8$ . ¿Cómo lo hago? Por ejemplo, ¿qué regla utilizo de http://integral-table.com ? Gracias.

Answer 1

$$\begin{align*} \int x(1-x)^8\,dx &=\int x(x-1)^8\,dx\\ &=\int (x-1+1)(x-1)^8\,dx\\ &=\int ((x-1)^9+(x-1)^8)\,dx\\ &=\frac1{10}(x-1)^{10}+\frac19(x-1)^9+C\quad (C: \text{constant}). \end{align*}$$

Tenga en cuenta que en la última línea he utilizado $$\int (x+a)^n\,dx=\frac1{n+1}(x+a)^{n+1}+C,\quad \text{when}\ n\ne -1.$$

Answer 2

Nadie parece haber mencionado lo que a mí me parece una obviedad: es más sencillo si la cosa elevada a la 8ª potencia es sólo una variable en lugar de $1$ menos una variable, así que dejemos que $$ \begin{align} u & = 1-x, \\ \\ du & = - dx, \\ \\ x & = 1-u. \end{align} $$ Entonces $$ \int x (1-x)^8\;dx = \int (1-u)u^8\;(-du) = \int u^9-u^8\;du. $$ Es fácil antidiferenciar eso, y luego poner $1-x$ donde $u$ aparece.

(Después, las potencias 10 y 9 de $1-x$ puede ampliarse si se desea).

Answer 3

• Método $1$ : Utilice la expansión binomial de $(1-x)^{8}$ y luego integrar término por término.

• Método $2$ : Utilice la integración por partes, tomando $u=x$ y $dv = (1-x)^{8} \ dx$ .

Answer 4

$$x(1-x)^8 = x-8 x^2+28 x^3-56 x^4+70 x^5-56 x^6+28 x^7-8 x^8+x^9$$

así que

$$\begin{array}{cl} && \int x(1-x)^8 \,dx \\ &=& \int x-8 x^2+28 x^3-56 x^4+70 x^5-56 x^6+28 x^7-8 x^8+x^9 \,dx \\\\ &=& \int x \,dx - 8 \int x^2 \,dx +28 \int x^3 \,dx - 56 \int x^4 \,dx + 70 \int x^5 \,dx - 56 \int x^6 \,dx + 28 \int x^7 \,dx - 8 \int x^8 \,dx + \int x^9 \,dx \\ &=& \tfrac{1}{2} x^2 - \tfrac{8}{3} x^3 + \tfrac{28}{4} x^4 - \tfrac{56}{5}x^5 + \tfrac{70}{6} x^6 - \tfrac{56}{7} x^7 + \tfrac{28}{8} x^8 - 8 \tfrac{1}{9} x^9 + \tfrac{1}{10} x^{10} + C \end{array}$$