Primas que dividen $2^{\frac{p-1}2}+1$

Question

$p$ es un primo y $p\equiv 3,5 \pmod8$ . Demostrar que $p\ | \ 2^{\frac{p-1}2} +1$ .

¿Cómo debo abordar este problema?

Answer 1

Nuestro objetivo es demostrar que $2^\frac{p-1}{2} \equiv -1 \bmod p$

Esto equivale a decir que $2$ no es un residuo cuadrático $\bmod p$ ya que si hubiera algún $b$ tal que $b^2 \equiv 2 \bmod p$ entonces como $b^{p-1} \equiv 1 \bmod p$ entonces también $2^\frac{p-1}{2} \equiv 1 \bmod p$

Por lo tanto, si se permite, podría utilizar el Reglas de reciprocidad cuadrática del símbolo de Legendre para completar la prueba. O si no, tu resultado demostraría efectivamente esa parte de las reglas.