En la segunda William comentario de que el concepto de "base" significa diferentes cosas en diferentes áreas de las matemáticas. Así que permítanme centrarme en el concepto de "base", pensó como "conjunto mínimo de elementos que generan una estructura".
Hay una bonita y sencilla categórica aproximación a este concepto. Categóricamente, para dar una estructura algebraica, es dar una mónada en una categoría $T \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$. Un álgebra de una mónada es un objeto de la categoría $\mathit{Alg}(T)$ de la Eilenberg-Moore resolución de la mónada. Esta resolución viene equipado con un par de adjoint functors: el olvido functor $U \colon \mathit{Alg}(T) \rightarrow \mathcal{C}$, y el adjunto a la izquierda "el libre functor" $F \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathit{Alg}(T)$ tal que $T = U \circ F$.
Ahora, lo fundamental es que podemos componer estos functors en la otra dirección, la obtención de un comonad $D = F \circ U$ en la categoría de $\mathit{Alg}(T)$. Como es el caso con todos los comonad, $D$ tiene su propio coresolution en la categoría de Eilenberg-Moore coalgebras $\mathit{coAlg}(D)$. Por lo tanto, podemos considerar que los coalgebras más de álgebras. Resulta que, en muchos casos, tales inducida por coalgebras sobre álgebras de correpond a la noción habitual de la base. Por ejemplo: coalgebras sobre espacios vectoriales descomponer los vectores de los coeficientes de acuerdo a una base; coalgebras sobre álgebras para el poder establecido mónada dar la descomposición de los elementos de una atómica (completa) de celosía en sus descendente átomos.
Puede ayudar el trabajo de un sencillo ejemplo. Consideremos $\mathcal{C} = \mathbf{Set}$ junto con un número finito de secuencias mónada:
$$T(X) = X^*$$
El Eilenberg-Moore resolución de $T$ le da la categoría de monoids $\mathbf{Mon}$. El olvidadizo functor $U \colon \mathbf{Mon} \rightarrow \mathbf{Set}$ asigna a un monoid de su portador:
$$U(\langle M, \bullet, \iota\rangle) = M$$
y el libre functor $F \colon \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Mon}$ da un monoid acción a través de la concatenación:
$$F(X) = \langle X^*, \circ, [\;]\rangle$$
La inducida por comonad $D = F \circ U$ asociados con cada monoid la libre monoid construir sobre la misma compañía:
$$D(\langle M, \bullet, \iota\rangle) = \langle M^*, \circ, [\;]\rangle$$
No es la counit de la comonad $\epsilon \colon \langle M^*, \circ, [\;]\rangle \rightarrow \langle M, \bullet, \iota\rangle$ definido por el plegamiento con monoid de la multiplicación:
$$\epsilon([a_1, a_2, \dotsc, a_n]) = a_1 \bullet a_2 \bullet \cdots \bullet a_n$$
y el comultiplication de la comonad $\delta \colon \langle M^*, \circ, e\rangle \rightarrow \langle M^{**}, \circ, e\rangle$, el que se descompone palabras en los embarazos únicos:
$$\delta([a_1, a_2, \dotsc, a_n]) = [[a_1], [a_2], \dotsc, [a_n]]$$
Por definición, un coalgebra más de un monoid $\langle M, \bullet, \iota\rangle$ es un monoid homomorphism $h \colon \langle M, \bullet, \iota\rangle \rightarrow \langle M^*, \circ, [\;]\rangle$ tal forma que:
- $\epsilon \circ h = \mathit{id}$, que es: $h(r)_1 \bullet h(r)_2 \bullet \cdots \bullet h(r)_n = r$ donde $h(r)_k$ $k$- ésimo elemento de la secuencia de $h(r)$
- $D(h) \circ h = \delta \circ h$, que es: $h(h(r)_k) = [h(r)_k]$
Estas condiciones de decir que coalgebras más de monoids son el equivalente a lo finito descomposición de los elementos en indecomposable elementos.
