¿Es todo ideal en $\hat{A}$ ¿extendida?

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano, $I\subset A$ un ideal, $\hat{A}$ el $I$ -la terminación de la vida. ¿Es cierto que todo ideal de $\hat{A}$ es de la forma $\hat{J}$ para algún ideal $J\subset A$ ?

Answer 1

La respuesta es no. Considere $A=k[x,y]$ sobre un finito o contable campo $k$ , $I$ el ideal máximo $(x,y)$ . Entonces $\hat{A}=k[[x,y]]$ . Sea $f(y)$ sea una serie de potencias trascendente sobre $k(y)$ con $f(0)=0$ (dicha serie de potencias existe por argumentos de cardinalidad). Consideremos ahora el ideal $J'=(x-f(y))k[[x,y]]$ . Afirmo que $J'\cap k[x,y]=0$ lo que implica que $J'$ no puede ser un $\hat{J}$ .

Dejemos que $P(x,y)\in J'\cap k[x,y]$ . Entonces $P(x,y)=(x-f(y))g(x,y)$ para algunos $g(x,y)\in k[[x,y]]$ . Sustituyendo en esta igualdad $x$ con $f(y)$ (esto es legal porque $f(y)\in yk[[y]]$ ), obtenemos $P(f(y),y)=0$ . Como $f(y)$ es trenscendental sobre $k(y)$ Esto implica que $P(x,y)=0$ .

Actualización Una serie de potencias explícita que es trascendental. Consideremos $e^z\in \mathbb C[[z]]$ . Si fuera algebraico, tendríamos una relación integral $$e^{dz}+f_{d-1}(z)e^{(d-1)z}+\dots+f_0(z)=0$$ con un número entero positivo $d$ y $f_i(z)\in \mathbb C(z)$ . Existe un número entero positivo $m$ tal que $P_i(z):=z^{m(d-i)}f_i(z)\in\mathbb C[z]$ para todos $i\le d-1$ . Entonces $$(z^me^z)^{d}+P_{d-1}(z)(z^me^z)^{d-1}+\dots+P_0(z)=0$$ en $\mathbb C[[z]]$ Esto implica la misma igualdad en el anillo de funciones enteras. Pero esto es claramente imposible porque cuando la parte real de $z$ tiende a $+\infty$ , $e^{z}$ crece mucho más rápido que cualquier función polinómica.

Tenga en cuenta que $e^z\in\mathbb Q[[z]]$ es entonces trascendental sobre $\mathbb Q((z))$ . De hecho, esto es válido para cualquier campo de característica $0$ .

Answer 2

Eso debería ser cierto. Para demostrarlo tomemos un ideal $\hat{J}$ en $\hat{A}$ y demostrar que el conjunto de numeradores de elementos en $\hat{J}$ forma un ideal en $A$ .

Edición: Perdón por no haber leído con suficiente atención. Esta prueba sólo es válida para la localización, no para la finalización.