¿Cuál es el valor de D aquí?

Question

Número $S$ se obtiene cuadrando la suma de los dígitos de un número de dos dígitos $D$ . Si la diferencia entre $S$ y $D$ es $27$ entonces el número de dos dígitos $D$ es?

Mis pensamientos:

Deja que el número de dos dígitos $D$ ser $AB$ .

Y así $S=(A+B)^2$

Si $\,S-D=27,\,$ entonces $\,(A+B)^2 -AB=27$

$$A^2 + 2AB + B^2 - AB=27$$

Ahora cómo obtener el valor de $D$ ¿más?

Answer 1

Tratar de acercarse sistemáticamente:

Sabemos que $|S-D|=27$ .

Dejemos que $D$ se compone de los dígitos $A$ y $B$ con cada uno de $A, B$ cada uno un número entero de un solo dígito. Sea $A$ sea el dígito más a la izquierda (el "dígito del diez de $D$ ), y que $B$ sea el dígito más a la derecha (el dígito del "uno" de $D$ ).

Así que $S = (A + B)^2$ y $D = 10 \cdot A + B.\;\;\;\;$ (*)

Entonces $$|S - D| = 27 \iff |(A + B)^2 - (10A + B)| = 27, \quad (0 < A < 10, \;0 \le B < 10)$$

$$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\iff (A+B)^2 - (10A + B) = 27,\quad\text{OR}\quad (10 A + B) - (A + B)^2 = 27$$ $$\text{with}\quad(0 < A < 10, \;0 \le B < 10)$$

(*) Por ejemplo, si $D = 54$ entonces $D = 5 \cdot 10 + 4$ , $S = (5 + 4)^2 = 81,\; S - D = 27$ ;
$\quad\;$ y si $D = 73 = 7\cdot 10 + 3\;\;, S = (7 + 3)^2 = 10^2 = 100; \;S - D = 27.$

Answer 2

Creo que veo 2 soluciones para este problema. Primero redefinamos $D$ algebraicamente como $D=10A+B$ . Así que nuestra ecuación es

$$(A+B)^2-10A-B=27$$

No sé si sabes algo de aritmética modular. Puede que al menos conozcas la prueba de divisibilidad de $9$ . La suma de las cifras de un número está estrechamente relacionada con su resto cuando se divide por $9$ . Por lo tanto, es razonable que tratemos de determinar el resto de ambos lados cuando se divide por $9$ . Esto simplifica la ecuación a

$$(A+B)^2-A-B\equiv0\pmod9$$ $$(A+B)^2-(A+B)\equiv0\pmod9$$ $$(A+B)(A+B-1)\equiv0\pmod9$$

Así tenemos que el producto de 2 enteros consecutivos tiene un resto de $0$ cuando se divide por $9$ o, en otras palabras, este producto es divisible por $9$ . Dado que 2 números consecutivos no comparten ningún factor común además de $1$ , ya sea $A+B$ es divisible por $9$ o $A+B+1$ es divisible por $9$ . $D=99$ es demasiado grande y $D=10$ es demasiado pequeño, lo que deja dos posibilidades.

Nuestra primera posibilidad es $A+B=9$ . Esto nos da

$$S=9^2=81$$ $$D=S-27=81-27=54$$

Nuestra segunda posibilidad es $A+B-1=9$ o $A+B=10$ . Esto da como resultado

$$S=10^2=100$$ $$D=S-27=100-27=73$$

Ambos valores se verifican. $D$ es $54$ o $73$ .

Answer 3

lo es: $81 = (5 + 4)^2$ y $81 - 54 = 27$ . por lo que el $S=81$ y $D=54$