En la ecuación diferencial $y''+y=0$

Question

Considere la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0$$ con las condiciones iniciales $y(0)=0$$y'(0)=1$. La solución es bien conocido - $y=\sin(x)$. Sé cómo derivar esta solución, ya que la ecuación dada es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, y la ecuación característica $z^{2}+1=0$.

También sé que esta identidad, combinado con las condiciones iniciales, nos permite calcular $y^{(n)}(0)$, por lo que la serie de Maclaurin de $y$, que coincide con la serie de Maclaurin de $\sin(x)$. Ninguna de estas pruebas parecen utilizar la propiedad de $\sin(x)$ otros de sus oscilantes derivados.

¿Existe una prueba de la solución a esta ecuación que utiliza algunas otras propiedades a $\sin(x)$? Si no, hay una manera de visibilizar, teniendo en cuenta la conexión de $\sin$ a del círculo unidad?

Answer 1

La geometría es la siguiente. Supongamos que usted tiene un par de funciones $c(t), s(t)$ que permite parametrizar el círculo unidad en unidad de velocidad. El primer requisito significa que $c^2 + s^2 = 1$, y el segundo requisito significa que $c'^2 + s'^2 = 1$. Diferenciar el primer requisito da $2c c' + 2s s' = 0$, por lo tanto $(c, s)$ $(c', s')$ son ortogonal de vectores unitarios. Por la continuidad el ángulo entre ellos es constante, por lo WLOG

$$c' = -s, s' = c$$

de donde se desprende que el$s'' = -s$$c'' = -c$.

También hay una interpretación física. $\frac{d^2 y}{dt^2} = -y$ describe el movimiento de un clásico de la partícula en la línea real de la masa de $1$ bajo la influencia del potencial de $V(y) = \frac{1}{2} y^2$, de modo que por la conservación de la energía la cantidad de $\frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} y'^2$ es constante (así que esto le da un contrario a la anterior). Más en general, vemos Hamiltoniana de la mecánica.