Mostrar $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{2n \choose n}x^n=(1-4x)^{-1/2}$

Question

¿Cómo se demuestra que $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{2n \choose n}x^n=(1-4x)^{-1/2}$ ?
Traté de identificar la suma como una serie binomial, pero el $4$ y el $-1/2$ desconcertarme.
(Esta serie surge al estudiar el primer tiempo de paso de un paseo aleatorio simple).

Answer 1

O, por definición. \begin{eqnarray*} {-1/2\choose n}&=&{(-1/2)(-1/2-1)(-1/2-2)\cdots(-1/2-[n-1])\over n!}\cr &=&{(-1)^n\over 2^n} {(1)(3)(5)\cdots(2n-1)\over n!}\cr &=&{(-1)^n\over 2^n} {(1)(3)(5)\cdots(2n-1)\over n!}\cdot{2^n n!\over 2^n n!}\cr &=&{(-1)^n\over 4^n} {2n\choose n}. \end{eqnarray*}

Answer 2

Las identidades clave son fórmula de duplicación para el factorial (que refundiré en un formato más conveniente):

$$\binom{2n}{n}=\frac{4^n}{\sqrt \pi}\frac{\left(n-\frac12\right)!}{n!}$$

y el fórmula de reflexión

$$\left(-n-\frac12\right)!\left(n-\frac12\right)!=(-1)^n\pi$$

Haciendo las sustituciones oportunas, obtenemos

$$\binom{2n}{n}=(-4)^n\frac{\sqrt \pi}{n!\left(-n-\frac12\right)!}=(-4)^n\frac{\left(-\frac12\right)!}{n!\left(-n-\frac12\right)!}=(-4)^n\binom{-\frac12}{n}$$

A partir de ahí...