probar que$a^b\ge{b}^a$ donde$a\le{b}$.

Question

probar que$a^b\ge{b}^a$ para todos$a,b\ge3$. Dado que $a\le{b}$.

Estaba tratando de resolver la pregunta por grafo. ¿Alguien puede ayudarme por favor?

Answer 1

Considera la función

ps

Tenemos

ps

que si es positivo para$$f(x)=\frac{x}{\ln(x)}$

Entonces, f (x) aumenta estrictamente para$$f '(x)=\frac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}$

Entonces, debido a$x\ge 3$, obtenemos

ps

Entonces tenemos

ps

porque podemos multiplicar con$x \ge 3$, ya que esto es positivo.

Tomar exp en ambos lados conduce a

ps

Answer 2

Es suficiente para mostrar que la función $ f \ left (t \ right) = \ frac {{\ ln t}} {{t + \ ln t}}$, is decreasing for all $ t \ ge 3$. Since $ $ f '\ left (t \ right) = \ frac {{\ left ({t + \ ln t} \ right) \ frac {1} {t} - \ left ({1 + \ frac {1} {t }} \ right) \ ln t}} {{\ left ({t + \ ln t} \ right) ^ 2}} \ le 0 $$ para todo$t\ge e$. Por lo tanto, para cualquier$x,y\ge 3$ tal que si$y\ge x$ luego$f(x)\ge f(y)$, es decir, \begin{align} &\frac{{\ln x}}{{x + \ln x}} \ge \frac{{\ln y}}{{y + \ln y}} \\ &\Rightarrow y\ln x + \ln x\ln y \ge x\ln y + \ln x\ln y \\ &\Rightarrow y\ln x \ge x\ln y \\ &\Rightarrow x^y \ge y^x. \end {align} También puede considerar la función decreciente $ f \ left (t \ right ) = \ frac {{\ ln t}} {t}$, for all $ x \ ge e $.

Answer 3

Reorganiza la desigualdad (¡separa las variables!) Para hacer que reclame la monotonicidad de una determinada función, lo que puede demostrarse utilizando el cálculo elemental (calcular la derivada, determinar el signo).