Separabilidad de un grupo y su dual

Question

He aquí el siguiente ejercicio:

Dejemos que $G$ sea un grupo topológico abeliano. $G$ tiene una base topológica contable si su dual $\hat G$ tiene uno.

Estoy teniendo dificultades con la topología compacta-abierta al intentar esto. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Dejemos que $G$ un grupo abeliano topológico localmente compacto. Si $G$ tiene una base topológica contable $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ . Mostramos $\hat{G}$ tiene una base topológica contable.

Para todo subconjunto finito $I$ de $\mathbb{N}$ , dejemos que $O_I=\cup_{i \in I}U_i$ .

Definimos $B:=\{\bar{O_I} | \bar{O_I}$ es compacto $\}$ .

$B$ es contable, porque la cardinalidad es menor o igual que la cardinalidad del subconjunto finito de $\mathbb{N}$ .

$U(1)$ tiene una base topológica contable $(V_n)_{n \in\mathbb{N}}$ .

Dejemos que $O(K,V)=\{ \chi \in \hat{G} | \chi(K) \subset V\}$ con $K$ compacto en $G$ , $V$ abrir en $U(1)$ .

$O(K,V)$ es abierta en la topología compacta-abierta en $\hat{G}$ .

Dejemos que $B'=\{O(K,V_n)|K \in B, n \in \mathbb{N}\}$ . $B'$ es contable y es una base topológica de $\hat{G}$ .

Si $\hat{G}$ tiene una base topológica contable, $\hat{\hat{G}}$ también. Pero $\hat{\hat{G}}=G$ (dualidad de Pontryagin), por lo que $G$ tiene una base topológica.