Transformada de Fourier de un Gaussiano generalizado

Question

Tengo una familia de funciones llamadas Gaussianos generalizados.

Están dados por:

$f(x) = \exp(-ax^{2p})$

Dónde $p \in \{1,2,3,\ldots\}$

¿Alguien podría decirme cómo encontrar sus transformadas de Fourier?

Answer 1

Aquí hay un método: definimos$g(t):=\int_{\mathbb R}e^{itx}e^{-x^{2p}}\mathrm dx$. Luego, tomando la derivada bajo la integral y la integración por partes, derivamos la ecuación diferencial$$g^{(2p-1)}(t)=(-1)^p\frac t{2p}g(t).$ $ Las soluciones de esta ecuación son analíticas, por lo tanto, podemos encontrar una relación de recurrencia entre los coeficientes.