Operadores lineales en$C^\infty[a,b]$

Question

Yo no sé mucho acerca de la lineal de operadores, de modo que me perdone si esto no tiene mucho sentido, pero ¿cuál sería el espacio de los operadores lineales en $C^\infty[a,b]$ se define como?

Si denotamos este espacio como $L(C^\infty[a,b])$ ¿qué podemos decir acerca de él? Desde $C^\infty[a,b]$ es un Frechet espacio es $L(C^\infty[a,b])$ también un Frechet espacio? ¿Qué sería de gran utilidad norma (seminorms?) en $L(C^\infty[a,b])$? Dada una norma o seminorms podría entonces hablar de secuencias de operadores y su convergencia?

También, dado que el espacio de $L(C^\infty[a,b])$ existe sería el espacio lineal de operadores diferenciales en $C^\infty[a,b]$ ser un subespacio de $L(C^\infty[a,b])$?

Answer 1

El espacio de $L(C^\infty[a,b])$ de continuo lineal de operadores en $C^\infty[a,b]$ es - exceptuando el caso trivial $a = b$ - no es un espacio de Fréchet (habitual en las topologías).

La costumbre de las topologías en $L(C^\infty[a,b])$

• la topología de la convergencia uniforme sobre todos los subconjuntos acotados, a menudo (bueno, a veces, al menos ;) indicados $L_b(C^\infty[a,b])$,
• la topología de la convergencia uniforme sobre compactos de subconjuntos, a menudo denotado $L_c(C^\infty[a,b])$,
• y la topología de la convergencia uniforme sobre todos los subconjuntos finitos (o pointwise convergencia), también se denota por a $L_p(C^\infty[a,b])$.

El seminorms la generación de los respectivos topología sería

$$p_{q,M}(T)=\sup\{q(Tx):x\in M\},$$

donde $q$ es un continuo seminorm en $C^\infty[a,b]$, e $M$ rangos de la familia de subconjuntos de a $C^\infty[a,b]$ bajo consideración, acotado, compacto, o finita.

Estas topologías son no metrizable, ya que no hay ninguna contables base de la limitada/compacto/finito de conjuntos en $C^\infty[a,b]$, por lo que no contables subconjunto de seminorms genera la topología.

El espacio de operadores diferenciales lineales (con suave coeficientes) es un subespacio de $L(C^\infty[a,b])$, puesto que un operador es un operador lineal continuo en $C^\infty[a,b]$.

Answer 2

Añadiendo un poco de @DanielFischer la respuesta: el espacio de $C^\infty[a,b]$, siendo de un entramado de intersección, es un proyectiva límite de los espacios de Banach. Por lo tanto, cualquier continua (lineal) mapa de un TV es exactamente inducida (exclusivamente) a partir de una colección de continua (lineal) se asigna a la limitands $C^k[a,b]$. En particular, este es el caso de la auto-mapas, así que cada tanto viene de un compatibles con la familia de los mapas de $C^\infty[a,b]\to C^k[a,b]$. Puesto que el último es de Banach, es un ejercicio fácil, a ver que tal un mapa de los factores a través de algunos $C^\ell[a,b]\to C^k[a,b]$ ($\ell$dependiendo $k$). Mapas entre espacios de Banach tiene una selección natural de topologías sobre ellos, por ejemplo el operador de la norma, sino también el fuerte y el débil, como delineado por DanielFischer.

Además, posiblemente relevante dependiendo de la situación, hay una Schwartz núcleo teorema válido para los mapas de $C^\infty[a,b]\to (C^\infty[a,b])^*$ a partir de lisas funciones de distribuciones... es decir, que todo está dada por una distribución de dos variables.