Es $X \mapsto \operatorname{tr} (A e^{X})$ ¿convexo?

Question

La función $X \mapsto \operatorname{tr} e^X$ es convexa (porque es una función espectral: $\sum \exp(\lambda_i)$ con $\lambda_i$ los valores propios de $X$ . Estoy bastante seguro de que $X \to \operatorname{tr} (A e^X)$ hereda de la misma propiedad cuando $A$ es hermitiana positiva definida (quizás sólo sobre el conjunto de matrices $X$ que son hermitianos) pero no sé cuáles son los argumentos?

Gracias

Answer 1

Después de generar varias matrices, por fin he encontrado un contraejemplo numérico.

Considere $A = \begin{pmatrix} 5.1056 & -2.0071\\ -2.0071 & 1.1172 \\ \end{pmatrix}$ , $X_0 = \begin{pmatrix}-2.9808 & -1.8849\\ -1.8849 & -1.4978\\ \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} -0.4262 & 0.8774 \\ 0.8774 & -2.2114 \end{pmatrix}$ . Considere $f : t \in \mathbb{R} \mapsto \mathrm{tr}(A e^{X_0 + t D})$ . Tenga en cuenta que $A$ es sdp y $X_0$ , $D$ y $X_0 + t D$ son herméticos. Trama $f(t)$ para $t \in [-40, 1.5]$ . Y se obtiene la curva de abajo, que no es convexa. Por lo tanto $X \mapsto \mathrm{tr}\;A e^X$ es no convexo.

Answer 2

Aunque ya sabemos que la conjetura es falsa, intentemos buscar una explicación más sistemática.

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Su conjetura es equivalente a la afirmación de que todas las entradas diagonales

$$X \mapsto [e^X]_{kk}, \qquad 1 \leq k \leq n$$

son convexos en el espacio de $n\times n$ Matrices hermitianas. Aquí, $[B]_{kk}$ denota el $(k, k)$ -entrada de la matriz $B$ .

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Centrémonos ahora en el caso de que $X$ se extiende sobre $2\times 2$ matrices reales simétricas. Escribe

$$X = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$$

y definir dos funciones $s = s(X)$ y $q = q(X)$ por

$$s(X) = \frac{a+c}{2}, \quad q(X) = \frac{1}{2}\sqrt{\smash[b]{4b^2 + (a-c)^2}}.$$

Entonces, lo siguiente fórmula general se mantiene:

$$e^X = e^s \left( \cosh q I + \frac{\sinh q}{q} (X - sI) \right).$$

A partir de esto, tenemos una fórmula explícita para el $(1,1)$ -entrada de $e^X$

$$[e^X]_{11} = e^s \left( \cosh q + \frac{a-c}{2}\cdot\frac{\sinh q}{q} \right)$$

y podemos comprobar si esta función es convexa o no.

Esta función casi parece una función convexa porque todas las funciones $X \mapsto e^s$ , $X \mapsto \cosh q$ y $X \mapsto \sinh q/ q$ son convexos y positivos. Por otra parte, dado que se combinan de forma bastante arbitraria, cabe esperar que la convexidad se rompa en algún momento.

En efecto, la figura siguiente es un gráfico del determinante hessiano de la función

$$(b, c) \mapsto \bigg[\exp\begin{pmatrix} 0 & b \\ b & c \end{pmatrix} \bigg]_{11}$$

$\hspace{6em}$

que muestra que $X \mapsto [e^X]_{11}$ no puede ser convexo.