Si $z=0$ $x=0,y=1$ o $x=1,y=0$.
Si $z \ge 1$$x,y \ge 1$. Deje $x=p^nx_1,y=p^my_1$$x_1,y_1,m,n \in \mathbb{N}$$\gcd (x_1,p)=1, \gcd (y_1,p)=1$. La ecuación es equivalente a $$p^{np}x_1^p+p^{mp}y_1^p=p^{z}$$
Sin pérdida de generalidad, se asume que el$z \ge mp \ge np$$x_1^p+p^{(m-n)p}y_1^p=p^{z-np}$. Si $m>n$ $p \nmid LHS$ pero $p \nmid RHS$, una contradicción. Por lo tanto, $m=n$.
La ecuación es equivalente a $x_1^p+y_1^p=p^l \; (l \ge 1)$$p \nmid x_1,p \nmid y_1$$p|x_1+y_1$. Por lo tanto, por la Elevación de La Exponente Lema tenemos $$v_p(x_1^p+y_1^p)=v_p(x_1+y_1)+v_p(p)=v_p(x_1+y_1)+1=l$$
Por lo tanto, $x+y=p^{l-1}$$l \ge 2$. De ello se desprende que $p^{l-1} \ge p$ o $x_1+y_1 \ge \dfrac{x_1^p+y_1^p}{x_1+y_1} \qquad (1)$.
Caso 1. Si $x_1=y_1=1$$x=y=p^n$. Por lo tanto,$2 \cdot p^{np}= p^z$. Por lo tanto, $p=2$$2n+1=z$.
Caso 2. Si $x_1=1$$y_1 \ge 2$. Por lo tanto, de $(1)$ obtenemos $y_1^2+2y_1 \ge y_1^p$ o $y_1+2 \ge y_1^{p-1}$. La desigualdad se cumple si, y sólo si $y_1=2,p=3$. Por lo tanto, $x=3^n,y=2 \cdot 3^n, z= 2+3n$.
Caso 3. Si $y_1=1$$x_1 \ge 2$. Del mismo modo, obtenemos $p=3,y=3^n,x=2 \cdot 3^n, z=2+3n$.
Caso 4. Si $x_1,y_1 \ge 2$. De $(1)$ obtenemos $p=2$. Por lo tanto $x_1^2+y_1^2=2^l$. Desde $x_1,y_1 \ge 2$$l \ge 2$. De ello se desprende que $4|x_1^2+y_1^2$, una contradicción ya que el $2 \nmid x_1, 2 \nmid y_1$.
La respuesta es $\boxed{ (p,x,y,z,)=(3,3^d,2 \cdot 3^d,2+3d),(3,2 \cdot 3^d,3^d,2+3d),(2,2^d,2^d,1+2d)}$$d \in \mathbb{N}$.
