Esta es una pregunta muy interesante. Eso no es una respuesta exacta, sino más bien una solución aproximada que muestra que existen ejemplos con cerca de $n^{3/2}$ puntos.
En primer lugar, vamos a no ser $c_i$ puntos elegidos en la $i$-ésima columna y $S$ puntos elegidos en total, y dejar que el subconjunto de columna $i$ que hemos elegido ser $C_i\subset\{1,2,\ldots,n\}$. A continuación, un rectángulo no existente cantidades a que no hay pares de $(i,j)$ tal que hay dos columnas cuyas $i$-th y $j$-th entradas están entre los puntos elegidos, o, equivalentemente, que el $|C_k\cap C_l|<2$ todos los $k\neq l$.
Esto le da a la enlazado
$$ \sum_{i=1}^n {c_i\choose 2} \leq {n\choose 2}$$
y desde ${c_i\choose 2}$ es convexa, la desigualdad de Jensen da que
$$S(S/n-1) \leq n(n-1)$$
con la desigualdad de ser más aguda cuando el $c_i$ son tan iguales como sea posible. De esto podemos ver que aproximadamente el $S^2/n\leq n^2$, que dice que aproximadamente tiene $S\leq n^{3/2}$.
Ahora aquí es una construcción que logra $S=\Theta(n^{3/2})$ (Todo lo que digo a partir de ahora debe ser tomado en algún sentido aproximado). Suponga $n=p^2$ para algunos prime $p$, y considerar las líneas de $ax+b$$a,b$$\mathbb{F}_p$. Cada línea determina un subconjunto de a $\mathbb{F}_p^2$ llama su gráfica, que consta de los puntos de $(x,ax+b)$ $x$ rangos de $\mathbb{F}_p^2$. Cada una de las dos líneas se cruzan en un punto. Por lo tanto los gráficos de todos estos $p^2$ líneas de darnos $p^2$ subconjuntos de a $\mathbb{F}_p^2$, cada uno, dos de los cuales se intersecan en un punto.
A continuación, podemos desenrollar estos subconjuntos de a $p^2=n$ subconjuntos de a $\{1,2,\ldots,p^2\}=\{1,2,\ldots,n\}$, cada uno de tamaño $p=\sqrt{n}$, lo que nos dicen los conjuntos de $C_i$. Esto se traduce en un conjunto de puntos escogidos en que no hay dos $C_i$-s se cruzan en más de 1 punto.
Edit: para justificar por qué estoy diciendo esto da $\Theta(n^{3/2})$, se observa que incluso si $n$ no es el cuadrado de un número primo, hay algunos prime $p$ $[\sqrt{n}/2,\sqrt{n}]$ por el postulado de Bertrand, y podemos usar ese (sólo tendremos que limitarnos a una $p^2\times p^2$ subgrid y perdemos en más de un factor de $4$$n$).
Más de edición: Pensando sobre esto un poco más, me parece raro que no hay una buena forma cerrada de respuesta para general $n$. Una versión de este problema aparece como problema 208 en este libro de Toda rusia olimpiadas. No con el mismo enfoque que se emplea, y los autores destacan que, más allá de la limpieza de los casos con buen número teórico de propiedades no sabemos mucho.
