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Geometría algebraica de Hartshorne Capítulo III ej. 9.10

Yo estoy luchando con el ejercicio dice en el título (Hartshorne, III, ex. 9.10). No hay problemas en mostrar que a $\mathbb{P}^1$ es rígido. En la segunda parte, queremos mostrar que $X_0$ ser rígido no implica que $X_0$ no admitir global de las deformaciones.

El problema nos pide la construcción de un plano, propio de morfismos $f:X\to \mathbb{A}^2$ más de una algebriacally campo cerrado $k$, $\mathbb{P}^1$ en la central de fibra, pero que, por no vecindario $U$ de los de origen ha $f^{-1}(U)\simeq U\times \mathbb{P}^1$.

Me gustaría recibir sugerencias o un ejemplo para esta parte. Sé que algunas de las propiedades de las fibras tienen que ser preservados, en particular la dimensión, el grado y la aritmética de género (Hart III, Co 9.10). Supongo que esto también implica que queremos que algunas de las fibras de ser singular (de lo contrario el geométrica género igual a la media aritmética de forzar un isomorfismo con $\mathbb{P}^1$), pero no sé cómo obtener estas singularidades, o si el problema puede evitarse teniendo en cuenta un campo diferente de la de los números complejos.

No he tratado de pensar acerca de la tercera parte del problema, pero ninguna pista acerca de que una de ellas sería bien aceptado de todos modos.

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Nir Puntos 136

Considere un campo de características$\ne 2$, y el subesquema proyectivo$X \subset \mathbb A^2_k\times_k\mathbb P^2_k $ dado por la ecuación$(a-1)x^2+(b-1)y^2+z^2=0$.
El morfismo de proyección$f:X\to \mathbb A^2_k$ es suave por encima de$$S=D(a-1,b-1)=\operatorname {Spec}k[a,(a-1)^{-1},b,(b-1)^{-1}]\subset \mathbb A^2_k\quad (S\cong\mathbb G_m\times_k \mathbb G_m)$$ with all fibers isomorphic to $ \ mathbb P ^ 1_k $.
Sin embargo, la proyección$X|S\to S$ no es localmente trivial cerca de ningún punto de$S$ (en particular, no es localmente trivial cerca de$a=0,b=0$) porque la fibra genérica de$X|S\to S$ es la conic$(a-1)x^2+(b-1)y^2+z^2=0$ visto como teniendo coeficientes$a-1,b-1,1 \in k(a,b)$, y ese cónico no tiene ningún punto racional sobre el campo$k(a,b)$.

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