Resolver el sistema $\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z=1,$ $\cos x+\cos y+\cos z=1,$ $x+y+z=\pi$

Question

Quiero resolver el sistema:

$$\cos^2(x)+\cos^2(y)+\cos^2(z)=1,$$

$$\cos(x)+\cos(y)+\cos(z)=1,$$

$$x+y+z=\pi.$$

Intenté demostrar que solo uno de los cosenos puede no ser cero, pero solo logré probar que uno o tres cosenos no pueden ser cero. Obtengo que $$\cos(x)~\cos(y)+\cos(x)~\cos(z)+\cos(y)~\cos(z)=0$$ También, al sustituir $$\cos(x) = 1 - \cos(y)-\cos(z),$$ obtenemos $$\cos^2(y) + \cos^2(z)=\cos(y)+\cos(z) - \cos(y)\cos(z)$$

Answer 1

Dado que $z=\pi-x-y$, tenemos $\cos z=\cos(x+y)$; entonces \begin{align} \cos^2x&+\cos^2y+\cos^2z \\[6px] &=\cos^2x+\cos^2y+\cos^2x\cos^2y-2\cos x\cos y\sin x\sin y+\sin^2x\sin^2y \\[6px] &=\cos^2x+\cos^2y+\cos^2x\cos^2y-2\cos x\cos y\sin x\sin y \\ &\qquad+1-\cos^2x-\cos^2y+\cos^2x\cos^2y\\[6px] &=1+2\cos x\cos y(\cos x\cos y-\sin x\sin y)\\[6px] &=1+2\cos x\cos y\cos z \end{align} que es una identidad interesante por sí misma.

En tu caso, obtenemos $\cos x\cos y\cos z=0$.

Supongamos que $\cos x=0$; entonces $x=\pi/2+m\pi$ y $\cos y+\cos z=1$. Al elevar al cuadrado, también obtenemos $\cos y\cos z=0$, por lo que $y=\pi/2+n\pi$ o $z=\pi/2+n\pi$.

En el primer caso, $\cos z=1$, entonces $z=2k\pi$ y también necesitamos $$ \frac{\pi}{2}+m\pi+\frac{\pi}{2}+n\pi+2k\pi=\pi $$ así que $m+n+2k=0$. De manera similar en el segundo caso y para $\cos y=0$ o $\cos z=0$.

Si también tienes la limitación de que los ángulos son los de un triángulo (posiblemente degenerado), es decir, en $[0,\pi]$, obtenemos que dos de los ángulos son $\pi/2$ y el otro es $0$.

Answer 2

La pista.

Dado que $z=\pi-x-y$, obtenemos $$\cos{x}+\cos{y}-\cos(x+y)=1$$ o $$2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}=2\cos^2\frac{x+y}{2}$$ o $$\cos\frac{x+y}{2}\left(\cos\frac{x-y}{2}-\cos\frac{x+y}{2}\right)=0$$ o $$\sin\frac{z}{2}\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}=0.$$

Creo que el resto es fácil.