Centro de masa del triángulo creado por parábola y dos líneas

Question

Se da la parábola $y^2 = 3x$. Se dibujan dos rectas perpendiculares desde el punto de origen, intersección de la parábola en los puntos P y Q. Encontrar la ecuación (en forma cartesiana) del conjunto de centros de masa de los triángulos OPQ (donde O es el punto de origen).

Por favor ayuda, he podido notar, que una línea es $ax$, el segundo es $-\frac{1}{a}x$. Además, la centros de masa mueva en la forma de otra parábola rotar las líneas.

Answer 1

Paso 1: calcular el % de puntos $P$y $Q$. Usted ya tiene la ecuación de las líneas, hace intersección con la parábola. Asumir $a>0$. Tenga en cuenta que $x>0$ $$ax=\sqrt{3x}$$ yields $$x=\frac{3}{a^2}$$ and $% $$y=\frac{3}{a}$la segunda ecuación es $y=-x/a$. Te a escuadra y obtener $$x=3a^2$$ and $% $ $y=-3a$paso 2: el centro de masa está en la posición media de lo % de vértices $(0,0)$, $(3/a^2,3/a)$, $(3a^2,-3a)$

Answer 2

Genérico línea a través del origen de la ecuación de $r:y=mx$ y tenemos $r^{\perp}:y=-\frac{1}{m}x$

La intersección de a $r$ $r^{\perp}$ con la parábola $y^2=3x$ son, respectivamente, $P\left(\frac{3}{m^2};\;\frac{3}{m}\right)$ $Q(3m^2,\;-3m)$

La solución de los sistemas de $ \left\{ \begin{array}{l} y^2=3x \\ y=mx \\ \end{array} \right.\quad\quad $ $ \left\{ \begin{array}{l} y^2=3x \\ y=-\frac{1}{m}\,x \\ \end{array} \right. $

Centroide $C$ de triángulo $OPQ$ tiene coordenadas que es el promedio de las coordenadas de $(O,P,Q)$ $C\left(\frac{1}{m^2}+m^2,\frac{1}{m}-m\right)$

Punto de $C$ $m$ varía describe una curva de ecuaciones paramétricas

$ \left\{ \begin{array}{l} x=m^2+\frac{1}{m^2} \\ y=\frac{1}{m}-m \\ \end{array} \right. $

Para eliminar el parámetro vamos a la plaza de $y$

$\left(\frac{1}{m}-m \right)^2=\frac{1}{m^2}+m^2-2$

así, obtenemos la ecuación

$y^2=x-2$

Espero que esto sea útil $$...$$

Answer 3

su primera línea es $y=mx$ así de segunda línea es $y=-x/m$ ahora usted puede encontrar fácilmente puntos de intersección P y Q

Puestos P($\frac{3}{m^2}$,$\frac{3}{m}$) Q($3m^2$,$-3m$)

ahora centroide para ángulo recto triángulo es el punto ($\frac{OP}{3}$, $\frac{OQ}{3}$)

Answer 4

Comenzó muy bien. Ahora un punto del triángulo es $(0,0)$ y para los otros dos puntos se determinan a partir de la intersección de las líneas con la parábola.

• Con la línea de $y = mx$, usted tiene el punto de intersección como las raíces de $m^2x^2 - 3x$. Así que el punto es $(\frac{3}{m^2}, \frac{3}{m})$

• Con la línea de $y = \frac{-x}{m}$, usted tiene el punto de intersección $(3m^2,-3m)$

Ahora tenemos los tres puntos del triángulo $(0,0)$, $(\frac{3}{m^2}, \frac{3}{m})$ y $(3m^2,-3m)$.

Utilice el hecho de que el centroide del triángulo $(x_i, y_i)$, $i = 1,2,3$ se encuentra en:

$$\frac{\sum x_i}{3}, \frac{\sum y_i}{3}$$

Así que el punto general en la nueva curva es $$(x,y) \equiv\left(\frac{1}{m^2} + m^2,\frac{1}{m} -m\right)$$

Desde $y = \frac{1}{m}-m$ ver $y^2 = \frac{1}{m^2}+m^2-2 = x-2$.

Por lo tanto nuestra curva es $$y^2 = x-2$$