¿Cómo demuestro que formal logaritmo es la inversa de la exponencial formal?

Question

Deje $A$ ser un unital conmutativa y asociativa $\mathbb{Q}$-álgebra.

Definir $exp(f):=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^n}{n!}$ por cada $f\in XA[[X]]$.

Definir $log(f):=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (f-1)^n$ por cada $f\in 1+XA[[X]]$.

Por lo tanto, tenemos dos mapas de $exp:XA[[X]]\rightarrow 1+XA[[X]]$$log:1+XA[[X]]\rightarrow XA[[X]]$.

Estoy tratando de demostrar que $log$ mapa es la inversa de la $exp$ mapa.

La primera cosa que he intentado es para mostrar directamente $log\circ exp=id$ $exp\circ log = id$ mediante la comprobación de si las identidades mantener para cada elemento $f$, pero esto no funciona así ya que de esta manera implica demasiados cálculos. Por ejemplo, $$[X^n]exp(log(f))=[X^n]\sum_{k=0}^n log(f)^k/k! = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} [X^n]log(f)^k= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} [X^n](\sum_{l=1}^k \frac{(-1)^{l+1}}{l} (f-1)^l)^k$$.

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} [X^n](\sum_{l=1}^k \frac{(-1)^{l+1}}{l} (f-1)^l)^k=[X^n]f$$.

Pero este cálculo es realmente una pesadilla.. ¿hay una forma inteligente de mostrar esto? Si no, ¿cómo puedo sabiamente calcular para mostrar el por encima de identidad?

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí un posible argumento. Una manera de definir la exponencial $\exp(x)$ como un poder formal de la serie es que es el único poder formal de la serie de $f(x)$ (a través de cualquier conmutativa $\mathbb{Q}$-álgebra) que satisface $f(0) = 1$ y

$$f'(x) = f(x).$$

En repetidas ocasiones la diferenciación de esta identidad fácilmente da $[x^n] \exp(x) = \frac{1}{n!}$ como se esperaba. Del mismo modo, una manera de definir el logaritmo $\log (1 + x)$ como un poder formal de la serie es que es el único poder formal de la serie de $g(x)$ satisfacción $g(0) = 0$ y

$$g'(x) = \frac{1}{1 + x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n.$$

Entonces, ¿qué podemos decir sobre el composite $\exp \log (1 + x)$? Así, por formal de la regla de la cadena, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) = f(g(x)) \frac{1}{1 + x}.$$

Por lo $f(g(x))$ es una solución de $h(x)$ a de la ecuación diferencial $h'(x) = h(x) \frac{1}{1 + x}$ con condición inicial $h(0) = f(g(0)) = 1$. Claramente tenemos $h(x) = 1 + x$ es una solución, y podemos recurrir a una versión formal de la Picard-Lindelof teorema de afirmar que soluciones formales a Odas existen y son únicos, por lo que llegamos a la conclusión de que

$$\exp \log (1 + x) = 1 + x.$$

Del mismo modo, ¿qué podemos decir acerca de $\log \exp x = \log ((\exp x - 1) + 1)$? Bueno, de nuevo por la parte formal de la regla de la cadena, tenemos

$$\frac{d}{dx} g(f(x) - 1) = g'(f(x) - 1) f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = 1.$$

Por lo $g(f(x) - 1)$ es una solución para la ODE $\frac{d}{dx} h(x) = 1$ con condición inicial $h(0) = g(f(0) - 1) = 0$. Aquí es un poco más sencillo para ver que debemos tener $h(x) = x$, por lo que

$$\log \exp(x) = x.$$

Answer 2

Otra forma podría ser (sensación de pereza ahora a trabajar todos los detalles) con las ecuaciones funcionales:

Para ln, $f(xy) = f(x)+f(y), f'(1) = 1$.

Para exp, $g(x+y) = g(x)g(y), g'(0) = 1$.

De estos, puede obtener $f'(x) = \dfrac1{x} $ y $g'(x) = g(x)$.