Resolver $\frac{dy}{dx} (xy)+ 4x^2 + y^2 = 0$ utilizando la sustitución $w=\frac yx$

Question

Solucionar $\frac{dy}{dx} (xy)+ 4x^2 + y^2 = 0$ mediante la sustitución de $w=\frac yx$

He realizado la mayor parte de esta pregunta, pero estoy seguro de cómo se escribe la solución. Esto es lo que tengo hasta ahora:

$$\frac{dy}{dx} + 4(x/y) + \frac yx = 0$$

$$\frac{dy}{dx} + \frac4w + w=0$$

Como $w=\dfrac yx$, se deduce que el $y=xw$$\dfrac{dy}{dx} = w$.

así que ahora tenemos: $$w +\dfrac4w + w = 0$$

$$2w^2 + 4 = 0$$

Que da la solución de $\pm\sqrt{2i}$

Este es ahora el punto donde me confundo. Es esta la siguiente parte de la correcta?

$$w = C_1 \cos(x\sqrt2) + C_2 \sin(x\sqrt2)$$ Por lo tanto: $$y = x[ C_1\cos(x\sqrt2) + C_2\sin(x\sqrt2)]$$

Donde $C_1$ $C_2$ son constantes. Tengo la sensación de que esto no es correcto?

Answer 1

Su sensación de que su solución no es correcta es, de hecho, a la derecha. Todo es correcto hasta la siguiente línea:

Como $w=\dfrac yx$, se deduce que el $y=xw$$\color{red}{\dfrac{dy}{dx} = w}$.

Esta respuesta va a rectificar esta discutiendo cómo resolver un determinado tipo de ecuación diferencial ordinaria donde en general se puede utilizar la sustitución de $w=\dfrac{y}{x}$. A continuación, usted debe ser capaz de aplicar este método para la educación a distancia.

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En general, un homogénea de la ecuación diferencial es aquella que puede escribirse en la forma: $$\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1}$$ La ecuación puede ser claramente escrito en la forma anterior. El uso de la propuesta de sustitución, $w=\dfrac{y}{x}$,$y=x\cdot w$, como usted bien menciona, se sigue de la regla del productoque: $$\frac{dy}{dx}=1\cdot w+x\cdot \frac{dw}{dx}$$ Lo que claramente no $\dfrac{dy}{dx}=w$, como se ha señalado por @MatthewLeingang. Por lo tanto, se puede escribir $(1)$ como: $$w+x\frac{dw}{dx}=F(w) \tag{2}$$ Que es un separables educación a distancia, que puede ser resuelto por la reescritura de $(2)$: $$\frac{1}{F(w)-w}\cdot \frac{dw}{dx}=\frac{1}{x}\implies \int\frac{dw}{F(w)-w}=\int\frac{dx}{x}$$