Existencia de un conjunto

Question

¿Existe $T \subset \mathbb{Q}$ tal que, para cada $z \in \mathbb{Z}$, existe un único conjunto finito $A_{z} \subset T$ tal que $z=\sum_{t \in A_{z}}{t}$?

Answer 1

Pongámonos de acuerdo en que $0\notin \Bbb N$.

Vamos $z_n$, $n\in\Bbb N$, ser una enumeración de $\Bbb Z$. Para $n\in \Bbb N$, vamos $a_n=3^{-n}$, $A=\{\,a_n\mid n\in\Bbb N\,\}$, $b_n=z_n-\sum_{k=1}^na_k$, $B=\{\,b_n\mid n\in \Bbb N\,\}$. Tenga en cuenta que$0<\sum a_k<\frac12$, de modo que el mapa de $n\mapsto b_n$ es inyectiva (y, por supuesto, $n\mapsto a_n$ también es inyectiva) y $A\cap B=\emptyset$. Ahora vamos a $$T=A\cup B.$$

Claramente, podemos escribir cada número entero $\in\Bbb Z$ como la suma de los elementos de $T$, es decir, $$\tag1z_n=b_n+\sum_{k=1}^na_n.$$

Por otro lado, vamos a $U\subset T$ ser un subconjunto finito con $s:=\sum_{u\in U}u\in \Bbb Z$. Como $U\subset A$ implicaría $0<s<1$, llegamos a la conclusión de que $U\cap B$ no está vacía. Deje $n$ ser máxima con $b_n\in U$. Tenemos $3^{n-1}u\equiv 0\pmod 1$ todos los $u\in U\cap B$, salvo que $3^{n-1}b_n\equiv -\frac13\pmod 1$. Llegamos a la conclusión de que $U\not\subset B$. Deje $m$ ser máxima con $a_m\in U$. Si $m<n$, $3^{n-1}u\equiv 0\pmod 1$ todos los $u\in U\cap A$, por lo tanto $3^{n-1}\sum_{u\in U} u\equiv-\frac13\pmod 1$, contradicción. Del mismo modo, si $m>n$,$3^{m-1}\sum_{u\in U} u\equiv \frac13\pmod 1$, contradicción. Llegamos a la conclusión de que $m=n$.

Ahora se demuestra por inducción sobre $n$ ($=m$) que tenemos una representación en $(1)$, es decir, que $s\in\Bbb Z$ implica $$U=\{b_n\}\cup\{\,a_k\mid 1\le k\le n,\}.$$ The case $n=1$ follows immediately from $n=m$. Así que vamos a $n>1$, y que la demanda es conocida a menor $n$. Supongamos primero que $b_{n-1}\in U$. A continuación, $3^{n-2}u\equiv 0\pmod 1$ todos los $u\in U$, salvo que $3^{n-2}a_n\equiv \frac19$, $3^{n-2}b_{n-1}\equiv -\frac13$, $3^{n-2}b_{n}\equiv -\frac49$, y - posiblemente - $3^{n-2}a_{n-1}\equiv \frac13$. Que hace que $\sum u-\frac23$ o $\equiv-\frac13$, contradicción. Por lo tanto $b_{n-1}\notin U$. Entonces el conjunto $U':=U\setminus\{a_n,b_n\}\cup \{b_{n-1}\}$ produce la suma de $s'=s-a_n-b_n+b_{n-1}=s-z_n+z_{n-1}\in\Bbb Z$. Por hipótesis de inducción, $U'=\{b_{n-1}\}\cup\{\,a_k\mid 1\le k\le n-1\,\}$, y que la demanda de $U$ sigue. $\square$

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Observación. El de arriba representa a $0$ como un no-vacío suma, es decir, como una suma de $n+1$ sumandos donde $z_n=0$. Si permitimos que el vacío suma, de este modo, obtener dos representaciones de $0$. En virtud de ese convenio, acaba de dejar a $z_n$ ser una enumeración de $\Bbb Z\setminus\{0\}$