Deje $\omega$ ser una forma de volumen en $\mathbb{S}^2$ con la propiedad de que la inducida por área (w.r.t $\omega$) de todos los hemisferios es el mismo.
Es cierto que $\omega$ es invariante bajo la antipodal mapa? yo.e vamos a $f(x)=-x$, no $f^*\omega=\omega$?
La suposición implica que para cualquier hemisferio $A \subseteq \mathbb{S}^2$, tenemos
$$ \int_{A}\omega=\int_{f(A)}\omega=\int_{A}f^*\omega=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{S}^2} \omega. \tag{1}$$
Editar:
Lema 1:
$\omega$ satisface $(1)$ si y sólo si $\int_{A}L_X\omega=0$ por cada campo de muerte $X$ y en el hemisferio $A$.
Prueba:
$\Rightarrow$ Supongamos $\omega$ satisface $(1)$:
Deje $\phi_t$ ser el flujo de un campo de muerte $X$$\mathbb{S}^2$, y deje $A$ ser un hemisferio. Ya que todas las $\phi_t(A)$ son hemisferios tenemos
$$ \int_{\phi_t(A)}\omega=\int_{A}\phi_t^*\omega=\text{const},$$ lo
$$ 0=\frac{d}{dt}|_{t=0} \int_{A}\phi_t^*\omega=\int_{A}\frac{d}{dt}|_{t=0}\phi_t^*\omega=\int_{A}L_X\omega.$$
$\Leftarrow$ Supongamos $\omega$ satisface $\int_{A}L_X\omega=0$ por cada campo de muerte $X$ y en el hemisferio $A$:
Deje $A$ ser un hemisferio. Queremos mostrar a $ \int_{A}\omega=\int_{-A}\omega$. Existe un campo de muerte $X$ s.t su flujo se lleva a $A$ $-A$en algún momento $t=t_0$. (me.e si $\phi_t$ es el flujo, $\phi_{t_0}(A)=-A$). Ahora,
$$ \frac{d}{dt}|_{t=s} \int_{A}\phi_t^*\omega=\int_{A}\frac{d}{dt}|_{t=s}\phi_t^*\omega=\int_{A}\phi_s^*L_X\omega=\int_{\phi_s(A)}L_X\omega=0,$ $ , donde la última igualdad es exactamente la asunción.
Desde $s$ fue arbitraria, esto implica $\int_{A}\phi_t^*\omega=\int_{\phi_t(A)}\omega$ es independiente de $t$, por lo que, en particular, $$\int_{A}\omega=\int_{\phi_0(A)}\omega=\int_{\phi_{t_0}(A)}\omega=\int_{-A}\omega,$$ como se requiere.
Lema 2:
Las condiciones en el lema 1 son equivalentes a $\int_{C} i_X\omega=0$ para cualquier gran círculo de $C$ y un campo de muerte $X$.
Prueba:
Deje $C$ ser un gran círculo. $C$ límites de un hemisferio $A$. Por Cartan la fórmula mágica, $L_x\omega=d(i_X\omega)$, por lo que
$$ \int_{A}L_X\omega=\int_{A} d(i_X\omega)=\int_{\partial A} i_X\omega=\int_{C} i_X\omega.$$
Desde cualquier hemisferio tiene un gran círculo para un límite que se hacen.
Deje $\tilde \omega$ ser el estándar de la ronda de volumen. Deje $\omega=h\tilde \omega$ ser una forma arbitraria. $\omega$ es invariante iff $h(x)=h(-x)$.
Mirando un gran círculo en el $C$, vemos que la condición en el lema 2 es equivalente a
$$ \int_C h|_{C}(\theta)\sin \theta=0, \int_C h|_{C}(\theta)\cos \theta=0.$$
Esto es porque el espacio de los campos de muerte en $\mathbb{S}^2$ $3$- dimensional, y una no-trivial campo de muerte siempre arregla los dos hemisferios delimitada por $C$, por lo que estamos efectivamente a la izquierda con dos ecuaciones.
Ahora, como se mencionó por Anthony Carapetis, hay una solución que no es $\pi$-periódico: Se puede tomar $h$ a ser constante a lo largo de latitud s, y para la latitud $\theta$,$h(\theta)=2+\sin(3\theta)$.
Por eso, $h\tilde \omega$ es una forma de volumen de dar igualdad de áreas, pero no invariantes bajo la antipodal mapa.
Más preguntas:
(1) Es cada apropiado factor de $h \in C^{\infty}(\mathbb{S}^2)$ (i.e $h\tilde \omega$ dar igualdad de áreas, pero no invariantes bajo la antipodal mapa) constante en latitudes?
(2) Vamos a $V:=\{ \omega \in \Omega^2(\mathbb{S}^2) \, | \, \int_A \omega=\int_{-A} \omega \, \, \text{for every hemisphere } \, A \}$ , $W:=\{ \omega \in \Omega^2(\mathbb{S}^2) \, | \, f^*\omega=\omega \}$.
Sólo nos mostraron $W \nsubseteq V$. Es $V/W$ finito dimensionales?
