¿Cuál es el nombre de este teorema de Jakob Steiner ' s, y ¿por qué es cierto?

Question

En Los Secretos de los Triángulos de una notable teorema se atribuye a Jakob Steiner.

Cada lado de un triángulo se cortan en dos segmentos de altitud. Construir plazas en cada uno de esos segmentos, y en la alternancia de cuadrados suma uno al otro.

El libro no incluye una prueba, y no estoy seguro de cómo empezar.

¿Este teorema tiene un nombre? ¿Cómo se podría ir sobre lo que demuestra esta hermosa relación?

Answer 1

La etiqueta de los cuadrados de lado longitudes $a, b, c, d, e, f $ (a la derecha de $A$). El reclamo es que el $$a^2+c^2+e^2=b^2+d^2+f^2$$

Deje $x$ ser la altitud de $A$.

Deje $y$ ser la altitud de $B$.

Deje $z$ ser la altitud de $C$.

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Por el teorema de Pitágoras aplicado a los dos triángulos rectángulos que incluyen la altitud de $A$, tenemos:

$$x^2+c^2=(a+b)^2$$

$$x^2+d^2=(e+f)^2$$

Por el teorema de Pitágoras aplicado a los dos triángulos rectángulos que incluyen la altitud de $B$, tenemos:

$$y^2+a^2=(e+f)^2$$

$$y^2+b^2=(c+d)^2$$

Por el teorema de Pitágoras aplicado a los dos triángulos rectángulos que incluyen la altitud de $C$, tenemos:

$$z^2+e^2=(c+d)^2$$

$$z^2+f^2=(a+b)^2$$

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El etiquetado de las seis de Pitágoras ecuaciones anteriores $(1)$ a través de $(6)$, podemos añadir $(1)$, $(3)$, y $(5)$ para obtener:

$$ x^2+y^2+z^2 +a^2+c^2+e^2=(a+b)^2+ (c+d)^2 + (e+f)^2$$

Agregar $(2)$, $(4)$, y $(6)$:

$$ x^2+y^2+z^2 +b^2+d^2+f^2=(a+b)^2+ (c+d)^2 + (e+f)^2$$

Observe que los lados derechos de las dos ecuaciones son iguales, por lo que nos pueden igualar los lados de la izquierda:

$$ x^2+y^2+z^2+a^2+c^2+e^2= x^2+y^2+z^2+b^2+d^2+f^2 $$

Ahora resta $x^2+y^2+z^2$ desde ambos lados, y hemos terminado.

$$a^2+c^2+e^2=b^2+d^2+f^2$$

Answer 2

Tomando un ejemplo de mi trigonograph de la ley de cosenos, tenemos una simple aritmética de áreas:

$$\begin{align} \\ \\ \\ \color{red}{X_1} + \color{blue}{[\bullet\bullet\phantom{\bullet}]} &\quad=\quad \color{red}{X_2} + \color{green}{[\bullet\bullet\bullet]} &=\quad b c \cos A \\ \color{blue}{Y_1}\, + \color{green}{[\bullet\bullet\bullet]} &\quad=\quad \color{blue}{Y_2}\, + \color{red}{[\bullet\phantom{\bullet}\;\;\phantom{\bullet}]} &=\quad c a \cos B \\ \color{green}{Z_1} + \color{red}{[\bullet\phantom{\bullet}\;\;\phantom{\bullet}]} &\quad=\quad \color{green}{Z_2} + \color{blue}{[\bullet\bullet\phantom{\bullet}]} &=\quad a b \cos C \\ \hline \\ \color{red}{X_1} + \color{blue}{Y_1} + \color{green}{Z_1} &\quad=\quad \color{red}{X_2} + \color{blue}{Y_2} + \color{green}{Z_2} \end {Alinee el} $$

Answer 3

No estoy seguro de que es tan complicado.

Tenga en cuenta que por el teorema de Pitágoras, los siguientes son verdaderos:

$CE^2 = AC^2 - AE^2$

$FB^2 = CB^2 - CF^2$

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$EB^2 = AB^2 - AE^2$

$FA^2 = AC^2 - CF^2$

$DC^2 = BC^2 - BD^2$

De lo anterior, es fácil ver que: CE $$ ^ 2 + FB ^ 2 + AD ^ 2 = EB ^ 2 + FA ^ 2 + DC ^ 2 \\ = (AB ^ 2 + AC ^ 2 + BC ^ 2)-(AE ^ 2 + CF ^ 2 + BD ^ 2) $$

Answer 4

Puesto que nadie menciona el punto $G$, aquí está otra prueba (aunque para esto tienes que usar que las altitudes de un triángulo siempre se cumplen):

Considere los seis triángulos que $G$ (que es $AGF$, $GBF$ y así sucesivamente) e invocar el teorema de Pitágoras para cada uno de ellos. Entonces para las plazas gris obtenemos

$$AF^2 + BE^2+ CD^2 = (AG^2 - FG^2) + (BG^2- EG^2) + (CG^2 - DG^2) $$

y para los cuadrados rojos

%#% $ #% que son los mismos 6 términos, así que ambas sumas son iguales.

Answer 5

Sugerencia: Tenga en cuenta que los triángulos de la derecha $CBF$ y $CAF$ solapa a su pierna $CF$. Por el teorema de Pitágoras, $$AF^2+CF^2=CA^2$$ $$BF^2+CF^2=BC^2$ $ y así $$CA^2-AF^2=BC^2-BF^2$ $ o, mediante la división de $CA=CD+DA$ y $BC=BE+EC$, % $ de $$\color{green}{(CD+DA)^2-AF^2=(BE+EC)^2-BF^2}$debe hacer lo mismo con las otros dos alturas para acabar con un sistema de ecuaciones similares a la sólo deriva, entonces tratan de manipular el sistema para terminar con la igualdad deseada.