Manera más simple para obtener el % de límite inferior $\pi > 3.14$

Question

Inspirado en esta respuesta y mi comentario, he de buscar otras alternativas para establecer $\pi>3.14$. El objetivo es lograr más simple/fácil de entender enfoques, así como para minimizar los cálculos involucrados. El método en mi comentario se basa en Ramanujan la serie de $$\frac{4}{\pi}=\frac{1123}{882}-\frac{22583}{882^{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1\cdot 3}{4^{2}}+\frac{44043}{882^{5}}\cdot\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{4^{2}\cdot 8^{2}}-\dots\tag{1}$$ Esto es muy difícil de entender (al menos en mi opinión, ver el blog de convencerse a sí mismo), pero logra el objetivo de un mínimo de cálculos con la evaluación de sólo el primer término es necesario.

En el otro extremo del espectro, es razonablemente fácil de entender de la serie $$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\cdots\tag2$$ Pero esto requiere de un gran número de términos para obtener cualquier razonable de exactitud. Me gustaría un feliz compromiso entre los dos y los enfoques basados en las ideas de otros, aparte de serie también son bienvenidos.

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Una pregunta anterior de la mina le da un enfoque para estimar el error de truncamiento de la de Leibniz de la serie $(2)$ y da a los límites de $\pi$, con muy poca cantidad de cálculo. No obstante, se requiere el uso de fracciones continuas y demostrando el deseado seguido de la fracción requiere un poco de esfuerzo.

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Otro conjunto de aproximaciones a $\pi$ de abajo son obtenidos mediante Ramanujan la clase de invariantes $g_n$ es decir $$\pi\approx\frac{24}{\sqrt{n}}\log(2^{1/4}g_n)\tag{3}$$ and $n=10$ gives the approximation $\pi\aprox 3.14122$ but this approach has a story similar to that of equation $(1)$.

Answer 1

De la $$\frac{\sin x}x\le\frac{2+\cos x}3,$$ we get with $x=\pi/6$ easily $\pi\ge\frac{18}{4+\sqrt{3}}=3.1402\ldots$ desigualdad elemental
Prueba de la desigualdad (elemental, aunque no obvia): que $$f(x)=\frac{\sin x}{x(2+\cos x)}.$$ In order to prove $f (x) \le\lim_ {x\to + 0} f (x) $, we prove $f (x) \le f(x/2) $. That follows from $$f(x)=f(x/2)\,\frac{(2+\cos x/2)\cos x/2}{1+2\cos^2 x/2},$$ since with $c=\cos x/2$, we have $$\frac{(2+c)c}{1+2c^2}=1-\frac{(1-c)^2}{1+2c^2}\le1.$$

Answer 2

Si tenemos en cuenta la Beuker-como integral $$ 0<\int_{0}^{1}\frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2}\,dx = 4\pi-\frac{188684}{15015} $$ llegamos, a través de la fracción parcial de descomposición y de algunas operaciones de $\mathbb{Q}$, $$ \pi > \frac{47171}{15015} > 3.14159.$$

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Inspirado por el Profesor de Vector brillante enfoque, estoy adición de un nuevo enfoque.
Por el Shafer-Fink desigualdad tenemos $\arctan(x)>\frac{3x}{1+2\sqrt{1+x^2}}$ cualquier $x>0$, por lo tanto, al evaluar los dos lados, a $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ obtenemos $\pi>\frac{18}{13}(4-\sqrt{3})=3.140237\ldots$ a Un refinamiento de la anterior desigualdad es $$\forall x>0,\qquad \arctan(x)>\frac{6x}{1+\sqrt{1+x^2}+2\sqrt{2}\sqrt{1+x^2+\sqrt{1+x^2}}} $$ y la evaluación en $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ produce más nítida obligado $$ \pi > \frac{36}{2+\sqrt{3}+4 \sqrt{2+\sqrt{3}}} > 3.1415.$$

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Sin embargo, otro enfoque. La desigualdad de $\arctan(x)>\frac{5x(21+11x^2)}{105+90x^2+9x^4}$ cualquier $x\in(0,1)$ proviene de Gauss continuó fracción / la Padé approximants para el arco tangente de la función. Mediante la sustitución de $x$$\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$, luego de evaluar a $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$, recibimos la agradable y apretado aproximación: $$ \pi > \color{blue}{\frac{5}{601}\left(944-327\sqrt{3}\right)}>3.141592.$$

Answer 3

Tomar la fórmula de Machin: $$\pi=16\tan^{-1}\frac15-4\tan^{-1}\frac1{239}$ $ ampliar la arctangents en su serie de Taylor: $$\pi=16\left(\color{blue}{\frac15-\frac1{5^3×3}}+\frac1{5^5×5}-\dots\right)-4\left(\color{blue}{\frac1{239}}-\frac1{239^3×3}+\dots\right)$ $ $$=\color{blue}{\frac{16}5-\frac{16}{375}-\frac4{239}}+\delta$ #% $ %#% $ $$=\color{blue}{3.140596\dots}+\delta$ ya que las dos series son el alternarse con magnitudes término estrictamente decreciente. Esto prueba $0<\delta<\frac{16}{5^5×5}+\frac4{239^3×3}$.

Answer 4

De manera similar a Jack d'Aurizio la respuesta (primera sección), tenemos el más sencillo integral

$$\frac{1}{2}\int_0^1 \ \frac{x^3(1-x)^6}{1+x^2} dx = \pi-\frac{1759}{560}=\pi-\left(3.14+\frac{3}{2800}\right)$$

Una similar evaluar exactamente $$\pi-3.14=\pi-\frac{157}{50}$$ se puede obtener con los métodos de Lucas (http://educ.jmu.edu/~lucassk/Papers/más%20on%20pi.pdf)

Desde

$$3.14=\frac{157}{50}=\frac{22}{7}-\frac{1}{350},$$

el resultado puede ser obtenido de restar Dalzell integral de

$$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx =\frac{22}{7}-\pi$$

de $$\frac{4}{5}\int_0^1 x^3(1-x)^4 dx = \frac{1}{350},$$

lo que da

$$\frac{1}{5}\int_0^1 \frac{x^3(1-x)^4(4-5x+4x^2)}{1+x^2} dx = \pi -\frac{157}{50} > 0 $$

Esta es una prueba directa para $\pi>\frac{157}{50}$ porque el integrando es no negativo en $(0,1)$, muy cerca esta la prueba de que $\frac{22}{7}$ supera $\pi$.

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También podemos tomar el primer término de una serie relacionada $\pi$ con la aproximación de abajo a $\frac{25}{8}$ para obtener

$$\begin{align} \pi &= \frac{25}{8} + \sum_{k=0}^\infty \frac{360}{(4k+2)(4k+4)(4k+5)(4k+7)(4k+8)(4k+10)}\\ &=\frac{1759}{560} + \sum_{k=1}^\infty \frac{360}{(4k+2)(4k+4)(4k+5)(4k+7)(4k+8)(4k+10)}\\ \end{align}$$

donde $\frac{1759}{560}>3.14$ como se muestra arriba.

Esta fracción que ya apareció en la primera integral, pero probando la serie como en esta respuesta da ahora

$$\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{x^5(1-x)^4(1+4x+x^2)}{1+x^2}dx = \pi -\frac{1759}{560}$$

Answer 5

Otro método sencillo es utilizar el método de Newton-Raphson método para encontrar el cero de la función $\sin(x)$ $x = \pi$ el uso de la estimación inicial de $x = 3$. El hecho de que en $x = \pi$ la función de $\sin(x)$ tiene un punto de inflexión, significa que la convergencia a $x = \pi$ va a suceder en forma alternativa, por lo tanto usted obtener riguroso de los límites superior e inferior. Así, la secuencia definida por la recurrencia:

$$x_{n+1} = x_n - \tan(x_n)$$

y $x_0 = 3$ converge a $\pi$. Tenemos $x_1 = 3.1425\cdots$, $x_2 = 3.1415926533\cdots$, y, por tanto,$\pi > 3.1415926533$. Ahora, tenemos que calcular el $x_2$ aquí sin el uso de $\pi$, podemos usar la serie de expansiones de $\sin(x)$$\cos(x)$$x = 0$. Estos son los dos alterna de la serie, por lo que fácilmente podemos llegar a una precisa obligado en $x_1$ y a partir de ahí se puede llegar a una precisa obligado en $x_2$, el límite inferior de la que luego se produce un preciso límite inferior de $\pi$.