Infinidad de discontinuidades para un bijective función de $[0,1)$ $(0,1)$

Question

Demostrar que cualquier bijection de $[0,1)$ $(0,1)$tiene infinidad de discontinuidades.

He pensado acerca de esta pregunta, pero no tengo ninguna idea. Cualquier idea es valioso para mí, gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $f:[0,1)\to(0,1)$ es un bijection con sólo un número finito de discontinuidades. Deje $F$ el conjunto de puntos en el que $f$ no es continua. A continuación, $[0,1)\setminus F$ es una unión de intervalos, y $f$ es continua en cada uno de estos intervalos. Por otra parte, todos estos intervalos son abiertos, excepto, posiblemente, uno de la forma $[0,a)$, en el caso en que $f$ es continua en a $0$. Deje $\mathscr{I}$ el conjunto de estos intervalos.

• El uso de la continuidad de $f\upharpoonright I$ y el hecho de que $f$ es un bijection para mostrar que $f[I]$ es un intervalo para cada una de las $I\in\mathscr{I}$. Por otra parte, $f[I]$ es un intervalo abierto si $I$ es.

• Mostrar que si $0\in F$, de modo que cada una de las $I\in\mathscr{I}$ es un intervalo abierto, entonces, por un lado,$|f[F]|=|\mathscr{I}|-1$, ya que el $(0,1)\setminus f[F]$ es la unión de $|\mathscr{I}$ abierto intervalos, pero en el otro lado $|F|=|\mathscr{I}|$. A la conclusión de que $0\notin F$, lo $f$ es continua en a $0$.

Deje $F=\{a_1,\ldots,a_n\}$ donde $0<a_1<\ldots<a_n<1$. Deje $I_0=[0,a_1)$ $k=1,\ldots,n-1$ deje $I_k=(a_k,a_{k+1})$, y deje $I_n=(a_n,1)$. A continuación, $f$ es continua en cada uno de los intervalos de $I_k$$k=0,\ldots,n$.

• Utilice el hecho de que $f[F]=F$ que $f$ debe asignar cada uno de los intervalos de $I_k$ a uno de los intervalos $(0,a_1)$, $(a_k,a_{k+1})$ para $k=1,\ldots,n-1$ o $(a_n,1)$.

• Obtener una contradicción mostrando que $f[I_0]$ es una media intervalo abierto, no es un intervalo abierto.