La secuencia de $(\frac 1n )$ de los inversos de los números naturales converge a un límite distinto $0$

Question

Encontrando dificultades para construir un indicador en $\Bbb R$ en los que la secuencia $(\frac 1n )$ de los inversos de los números naturales que converge a un límite distinto $0$.

Answer 1

Dado cualquier métrica, es sencillo construir una métrica que, esencialmente, de los intercambiadores de la función de dos elementos $a$$b$. Específicamente, si $(X,d)$ es un espacio métrico y $f:X\rightarrow X$ es un bijection, a continuación, es muy sencillo demostrar que $$d_f(x,y):=d(f(x),f(y))$$ también es una métrica en $X$. Si elegimos a nuestros bijection para que $f(a)=b$, $f(b)=a$ y $f(x)=x$$x\in X\setminus\{a,b\}$, entonces es obvio que tenemos $d_f(x,a)=d(x,b)$ $d_f(x,b)=d(x,a)$ cualquier $x\in X$$x\neq a,b$.

Para este problema en particular, tomamos $X=\mathbb R$, $d$ como la métrica Euclidiana, $b=0$ y elija $a\in\mathbb R\setminus\{0\}$ arbitrariamente. A continuación, teniendo en cuenta lo anterior la construcción, claramente $\frac1n\to a\neq0$. Explícitamente, la métrica en este caso está dada por $$\begin{cases} d(x,a)=d(a,x)=|x|,&x\neq0,a,\\ d(x,0)=d(0,x)=|x-a|,&x\ne0,a,\\ d(a,0)=d(0,a)=|a|,\\ d(x,y)=|x-y|,&x,y\ne0,a. \end{casos}$$

Answer 2

La T-forma de establecer $$T:=\{(x,0)\>|\>x>0\}\>\cup\>\{(0,1+x)\>|\>x\leq0\}\ \subset{\mathbb R}^2$$ hereda la métrica euclidiana de ${\mathbb R}^2$; de dónde es un espacio métrico. El mapa $$\phi:\quad {\mathbb R}\to T,\qquad x\mapsto\cases{(x,0)\quad&$(x>0)$ \cr (0,1+x)\quad&$(x\leq0)$\cr}$$ mapas de ${\mathbb R}$ bijectively en $T$, wereby $\phi(-1)=(0,0)$. Considere ahora la métrica $$d(x,y):=\|\phi(x)-\phi(y)\|$$ en ${\mathbb R}$. Con respecto a este indicador, uno tiene $$\lim_{n\to\infty}{1\over n}=-1\ .$$