"Restringido" soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias con la ley de la conservación?

Question

Hola saben muy poco acerca de los métodos numéricos y yo estaba considerando el siguiente problema que posiblemente tiene solución estándar en la literatura.

Supongamos que usted tiene una ODA para la cual ya sabemos que se exige el cumplimiento de una ley de conservación para algunas de las "energía" (por ejemplo los sistemas dinámicos hamiltonianos como $\frac 1 2 m \dot{x}^2+U(x)=\mbox{const}$). Entonces, si tratamos de resolverlo con el estándar de Runge Kutta estamos propensos a tener errores de la energía en cada paso, que posiblemente será definitiva. Pero lo que si me quieren sacrificar un poco de precisión para la "posición" con el fin de tener una mayor precisión para la energía? (Esto podría ser relevante si por ejemplo estoy interesado en tener una buena aproximación de mucho tiempo asimptotic comportamientos que no deben verse afectados por errores en el corto tiempo de la dinámica). Hay métodos numéricos que intenta dar la mejor aproximación dado el restringir de mantener la energía "estrictamente" fijo?

Answer 1

La respuesta corta es sí. Dato divertido es que esos métodos pueden incluso ser fácil de implementar, o, en cierto sentido, se ven más naturales que los métodos como el de Heun o método de Runge-Kutta.

Cuando yo era un niño, he programado una simulación del movimiento de un satélite bajo la influencia de la gravedad del planeta, como parte de un juego. El plan era muy sencillo:

1. Calcular la aceleración de $\vec{a}$ como una función de la posición $\vec{x}$,
2. Actualización de la velocidad de $\vec{v}$ mediante la adición de $\vec{a}\,\Delta t$,
3. Actualización de la posición $\vec{x}$ mediante la adición de $\vec{v}\,\Delta t$,
4. Repita.

Que método creado un aparentemente estable órbita elíptica. Con bastante gruesa $\Delta t$, la elipse se iba a rotar bastante, pero no iba a volar ni colapso. De hecho, no me di cuenta de que la integración de los movimientos en general, podría llevar a que sistemáticamente sesgada de conservación de la energía errores hasta que tuve que estudiar el tema y así llegué a conocer bastante de algunos planes, todos los cuales parecían más complicado en términos de operaciones por paso, sin embargo, ninguno parecía apropiado para la simulación de la mecánica celeste, debido a la energía de la deriva.

Más tarde me enteré de que tenía, sin saberlo, se implementó el método leapfrog. También he oído que el método hace referencia en una charla sobre el milenio de la simulación. Un marco general que se da con los llamados simpléctica integradores.

Answer 2

Mientras que la conservación de energía es importante, específicamente en sistemas Hamiltonianos, no es suficiente. Más bien, es importante conservar la estructura simpléctica, lo que significa que sus condiciones iniciales deben ser asignadas adelante en el tiempo, utilizando sólo transformaciones canónicas. Que es donde el simpléctica integradores de venir, como se ha mencionado por ccorn.