Las pilas y las poleas

Question

Estoy un poco confundida por el doble papel que las poleas jugar en la teoría de las pilas.

Por un lado, las poleas en un sitio de la obvia de que la generalización de una gavilla en un espacio topológico. Por otro lado, una gavilla de un sitio web es (o mejor de su categoría asociada fibrado en conjuntos) de un modo muy particular de la pila en sí misma, por una generalización de un espacio. Esto no es totalmente confuso: más o menos cantidades (creo) para la identificación de un espacio X con la gavilla de continuo de las funciones con valores de X.

Pero ahora mi pregunta es la siguiente. Un equivalente a la condición de un fibrado categoría para ser un prestack es que para cualquiera de los dos objetos (sobre el mismo objeto de base), el asociado functor de las flechas deben ser una gavilla. En particular, esto es cierto para una pila, así que para cualquier pila y cualquiera de los dos objetos que hay en ella tenemos una gavilla, y así un montón (más de una coma categoría).

¿Cuál es el significado de este geométricamente?

Por ejemplo, tener la pila de $\mathcal{M}_{g,n}$.

Da dos objetos en la pila (en el mismo objeto de base) significa dar dos familias $X$ $Y$ estable señaló curvas en el mismo esquema de $S$, y el asociado functor de las flechas de los mapas de cada otro esquema, $f \colon T \rightarrow S$ para el conjunto de morfismos entre el$f^* X$$f^* Y$. ¿Cómo debo pensar de los asociados de la pila como un espacio?

Para evitar malentendidos, me dan la defition de la functor de flechas. Deje $\mathcal{F}$ ser un fibrado categoría de más de $\mathcal{C}$. Tome $U \in \mathcal{C}$$\xi, \eta \in \mathcal{F}(U)$. Entonces no es un functor $F \colon \mathcal{C}/U \rightarrow Set$ define de la siguiente manera. Para un mapa de $f \colon T \rightarrow U$ ponemos $F(f) = Hom(f^* \xi, f^* \eta)$. La acción de flechas requiere algunos diagramas para ser descrito, pero en realidad es la única posible.

Answer 1

Yo no soy un aparejador, pero aquí es una manera de pensar en ella. Sea M una pila (en groupoids, dicen) y X un objeto, y considerar tan solo un punto, p:X→M., a Continuación, $Hom_M(p,p)$ es una gavilla, que es el "grupo de isotropía" de la pila de M en el punto p, es decir, el espacio de automorfismos de p en m. Si usted piensa que tus pilas como espacios topológicos, con isomorphisms correspondiente a las rutas (que tiene más sentido cuando usted se muda a ∞-pilas, donde mayor morfismos corresponden a mayores homotopies entre caminos), entonces la isotropía del grupo objeto de un punto p corresponde al bucle espacio ΩX de un espacio topológico X.

Answer 2

Tan lejos como la primera parte de tu pregunta va, tengo exactamente la misma confusión (y que probablemente va a empeorar una vez que me pongo a pensar acerca de las poleas en pilas...).

Hay dos cosas que me dan la ilusión de algunos de comprensión.

1. El pensamiento de poleas como (generalizada) de los espacios es, probablemente, no es terrible, en la misma forma de pensar de un paquete como el de su espacio total. Es cierto que alguna gavilla (con valores en un plazo razonable en la categoría supongo) es la gavilla de las secciones de su etale espacio. (Aunque debo confesar que no me gusta etale espacios y soy consciente de que esto probablemente no es la imagen de la derecha, como no debemos pensar de poleas en un sitio en el que esta de moda, pero bueno).
2. Si pensamos en fibred categorías (de+escisión) como presheaves con valores en la 2-categoría de Gato, entonces no es una generalización de la gavilla condición de que los rendimientos de la noción de una pila. Por supuesto, las flechas de ser una gavilla es una consecuencia de esto, así que si usted encuentra la generalización de la gavilla de la condición más natural, entonces flechas-ser-una-ligamento puede ser visto como consecuencia de ello, supongo.

De todos modos es solo un pensamiento.

Answer 3

Déjame ver si entiendo tu ejemplo correctamente: corrección de $X$$Y$, las familias de las curvas de más de $S$, y ahora usted está considerando el functor que se asigna un $S$ - $T$ para el conjunto de la $T$-isomorphisms $f^\*X \to f^\*Y$ (donde $f$ es el mapa de$T$$S$).

Si tengo cosas recta, entonces este functor no debe ser tan malo para pensar, porque es en realidad representable, por un Isom esquema. En otras palabras, hay un $S$-esquema de $Isom_S(X,Y)$ cuyas $T$valores de puntos, para cualquier $f:T \to S$, son precisamente los $T$-isomorphisms de$f^\*X$$f^\*Y$. (Uno puede construir el Isom esquema de mirar el interior de un algunos bien elegido esquema de Hilbert.)

Una manera de pensar acerca de este geométricamente es la siguiente: uno puede imaginar que dos curvas de más de $k$ (un campo) son isomorfos, precisamente cuando ciertos invariantes coinciden (por ejemplo, para curvas elípticas, el $j$-invariante). (Por supuesto, esto es una simplificación, y el punto de la teoría de espacios de moduli/esquemas/pilas es hacer que sea preciso, pero es una buena intuición.) Ahora si tenemos una familia $X$$S$, estos invariantes variar a lo largo de $S$ a dar una de las colecciones de funciones en $S$ (por ejemplo, una función de $j$ en el género $1$ de los casos), y lo mismo con $Y$. Ahora $X$ $Y$ tendrá isomorfo fibras precisamente en aquellos puntos donde los invariantes coinciden, así que si nos fijamos en el subscheme $Z$ $S$ definido por la coincidencia de los invariantes, esperamos que $f^\*X$ $f^\*Y$ va a ser isomorfo con precisión si el mapa $f$ factores a través de $Z$. Por lo tanto $Z$ es una aproximación a la Isom esquema.

No es precisamente el Isom esquema, porque las curvas, a veces de manera no trivial automorfismos, y por eso, aunque sabemos que $X_s$ $Y_s$ son isomorfos para algunos $s \in S$, que puede ser isomorfo en más de una forma. Así que en realidad el Isom esquema será algún tipo de (posiblemente ramificada) finito cubierta de $Z$.

Por supuesto, si uno persigue esta línea de la intuición mucho más en serio, uno se recuperar las nociones de los módulos de la pila, el grueso del espacio de moduli, y así sucesivamente.

Añadido: La siguiente observación complementaria que puede ayudar a:

Las familias $X$ $Y$ $S$ corresponde a un mapa de $\phi:S \{\mathcal M}_g \times {\mathcal M}_g$. The stack which maps a $T$-scheme to $Isom_T(f^\*X, f^\*Y)$ can then seen to be the fibre product of the map $\phi$ y la diagonal $\Delta:{\mathcal M}_g \to {\mathcal M}_g \times {\mathcal M}_g$.

En el caso particular de ${\mathcal M}_g$ el hecho de que esta fibra producto es representable es parte de la condición de que ${\mathcal M}_g$ ser una expresión algebraica de la pila.

Pero en general, la construcción de describir es la construcción de una fibra de producto con la diagonal. Esto podría ayudar con la imagen geométrica, y hacer que la relación de Mike respuesta más clara. (Para el último:tenga en cuenta que la ruta de acceso al espacio en $X$ natural proyección de a $X\times X$ (tomar los dos extremos), y el bucle espacio es el de fibra de producto de la ruta de espacio con la diagonal $X\to X\times X$.)