Si $m^*(E)=\infty$, luego $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$, $E_k$ medibles y $m^*(E_k)<+\infty$

Question

La lectura de Royden la cuarta edición de Análisis Real. Estoy trabajando con el exterior de medida definidos como

$$m^*(E)=\inf\left\{\sum_{n=1}^\infty l(I_n):\,E\subset \bigcup_{n=1}^\infty I_n\right\},$$

donde cada una de las $I_n$ es un delimitada, intervalo abierto. También, $E$ es medible si y sólo si

$$m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^C),$$

para cada conjunto $A$.

En la lectura de la prueba del Teorema 11, en la página 40, voy a empezar con $E$ un conjunto medible. Entonces de repente me lea la declaración: "Considere el caso donde $m^*(E)=\infty$. A continuación, $E$ puede ser expresado como la inconexión de la unión de un contable de la colección de $\{E_k\}_{k=1}^\infty$ medibles de conjuntos, cada uno de los cuales ha finito exterior de la medida.

Estoy atascado en esta última frase. ¿Cómo es que esto es cierto?

Answer 1

Esto es falso, a menos que suponemos que $E$ es medible. Podemos construir nonmeasurable conjuntos que han exterior de medida $\infty$ que no contienen medibles conjunto de medida positiva (tomar un conjunto de Bernstein, donde tanto el conjunto de $B$ y su complemento tiene intersección no vacía con cada innumerables conjunto cerrado). Deje $B$ ser un conjunto.

Supongamos $B = \bigcup_{i=1}^\infty E_i$ es distinto de la unión de countably muchos conjuntos medibles. Entonces la única posibilidad para $E_i$ son conjuntos de medida $0$ (debido a $E_i \subset B$), lo que significa que $B$ tiene una medida de $0$, lo cual es claramente una contradicción.

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Si $E$ es medible, entonces podemos tomar $E_i = E \cap ( i,i+1 ]$, que es la intersección de dos conjuntos medibles. $E = \bigsqcup_{i \in \mathbb Z} E_i$ ($\sqcup$ denota discontinuo de la unión).