Una función suave $f(x)$ tiene un mínimo único. Es $f$ también varía suavemente en el tiempo, ¿la ubicación de su mínimo varía suavemente en el tiempo?

Question

Dejemos que $f(x,t)$ sea una función suave $\mathbb R^2\to\mathbb R$ tal que $F_t(x):=f(x,t)$ tiene un mínimo único en $x$ por cada $t\in[0,1]$ .

¿Con qué regularidad varía la ubicación de este mínimo único con respecto a $t$ ? En otras palabras, si $x=\chi(t)$ es el $x$ -valor donde $F_t(x)$ alcanza su mínimo único, ¿podemos decir que $\chi(t)$ es una función suave de $t$ ? Si no es así, ¿es $\chi(t)$ ¿Diferenciable o continuo?

Answer 1

La función $f(x,t)=(tx-1)^2 - \exp\left(\dfrac{1}{x(x+2)}\right)1_{(-2,0)}(x)$ parece ser un contraejemplo, donde $1_A(x)$ es la función indicadora de $A$ . El segundo término es una función de bache con un mínimo en $x=-1$ . Aquí $\chi(0)=-1$ pero $\chi(t)=\frac1t$ cuando $t>0$ .