¿Cuáles son ejemplos de sistemas físicos clásicos observables polinomiales de grado mayor que 2?

Question

Específicamente: ¿cuáles son empíricamente bien entendido ejemplos de (integrables) Hamiltonianos sistemas cuya Hamiltonianos incluyen expresiones polinómicas, en la canónica de coordenadas $\{q^i,p_i\mid i=1,\ldots,n\}$, teniendo en grado mayor que 2?

A continuación se siga preguntas/respuestas en respuesta a los comentarios o preguntas de Ron Maimón:

Con respecto a integrar el movimiento en una dimensión, de lo que son ejemplos físicos de una dimensión de los potenciales que contienen expresiones polinómicas de grado mayor que 2?

Más allá de la integración de movimiento de una partícula en una dimensión, de lo que son empíricamente bien entendido ejemplos de muchos cuerpos en una dimensión (integrables) Hamiltonianos sistemas cuya Hamiltonianos incluyen expresiones polinómicas, en la canónica de coordenadas $\{q^i,p_i\mid i=1,\ldots,n\}$, teniendo en grado mayor que 2?

¿Qué se entiende bien ejemplos de la partícula (o cuerpo) de más de una dimensión (integrables) Hamiltonianos sistemas cuya Hamiltonianos incluyen expresiones polinómicas, en la canónica de coordenadas $\{q^i,p_i\mid i=1,\ldots,n\}$, teniendo en grado mayor que 2?

En cuanto a la naturalidad de estas preguntas, la restricción es al menos polinomios cúbicos en la distribución de Poisson álgebra clásica polinomio observables en el $q^i$ $p_i$ sobre el espacio de fase (presumiblemente ${\mathbb R}^{2n}$ $n>1$ en la partícula caso). Dicho esto, podría ampliar su observación relativa a la naturalidad de esta restricción en el contexto de QFTs?

Answer 1

Una forma de generar integrable polinomio de sistemas Hamiltonianos de cualquier grado deseado es tomar su favorito nonintegrable sistema y expandirlo en una forma normal sobre algunos conocidos de la solución. En general, el procedimiento requiere de varias transformaciones canónicas, para ir de decir coordenadas Cartesianas a la normalidad coordenadas y, en general, diverge. Pero, se puede truncar la expansión en algunos predeterminado polinomio de grado. El resultado es un integrable polinomio Hamiltoniano del sistema. Si lo desea puede invertir las transformaciones canónicas para volver a sus coordenadas originales. Aprendí la técnica de este: Introducción a los Sistemas Dinámicos Hamiltonianos y el N-Problema de Cuerpo (de la Matemática Aplicada Ciencias) Meyer,Hall. Espero que esto ayude.