Función creciente con $f'(x)=f(f(x))$

Question

¿Hay una función estrictamente creciente $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f'(x)=f(f(x))$ % todo $x$?

Answer 1

No, no la hay.

Tenga en cuenta que si $f$ es estrictamente creciente, entonces $f'(x)\ge 0$ para todos los verdaderos $x$. Supongamos $f'(x) = f(f(x))$ para todos los verdaderos $x$. Tenga en cuenta que si $f(0)<0$, luego por la estricta monotonía $f(f(0))< f(0) < 0$, y, por tanto,$f'(0) < 0$, contradicción. Por lo $f(0)\ge 0$, y, en particular, $f(x)>0$ si $x>0$. Como tal, elija $c>0$, y vamos a $$ g(x) = \int\limits_{f(c)}^{f(x)}{\frac{1}{f(t)}\text{ d}t}. $$ para $x>0$. Tenga en cuenta que $$ g'(x) = \frac{1}{f(f(x))}f'(x) = 1. $$ Desde $g(c) = 0$, se deduce que el $g(x) = x-c$. Desde $f'(x) = f(f(x))$ $f$ es diferenciable, se deduce que el $f'$ es también diferenciable, con $f''(x) = f'(f(x))f'(x)$, y es fácil ver que $f'$ también es estrictamente creciente, por lo $f''\ge 0$, e $f''$ también es estrictamente creciente. Como tal, no existe $C>0$ tal que $f''(x)\ge C$ de las grandes suficientemente $x$, y por lo tanto no existe $C'$ tal que $f(x) > C'x^2$ de las grandes suficientemente $x$, es decir,$\frac{1}{f(x)}< \frac{1}{C'}\frac{1}{x^2}$. Por lo tanto, $$ \int\limits_{f(c)}^{\infty}{\frac{1}{f(t)}\text{ d}t}<\infty. $$ Por otro lado, desde la $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{f(x)} = \infty$, tenemos $$ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{g(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{\int\limits_{f(c)}^{f(x)}{\frac{1}{f(t)}\text{ d}t}} = \int\limits_{f(c)}^{\infty}{\frac{1}{f(t)}\text{ d}t} < \infty $$ y, sin embargo, claramente $$ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{g(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow\infty}{x-c} = \infty $$ una contradicción.

Answer 2

No puedo encontrar ninguna función real, pero esta función es satisfacer su ecuación $$f(x)=cx^{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$$ where $c=e^{\frac{\sqrt{3}\pi}{6}}[\frac{\sqrt{3}+i}{2}] $. Tengo esta función al equiparar los grados en ambos lados pero si encuentras cualquier función real de satisfacer esta ecuación, por favor hágamelo saber.

¡Espero que esto ayude!