Inyectabilidad de mapa entre colectores

Question

Estoy aprendiendo los conceptos de inmersiones en el momento. Sin embargo estoy un poco confundida cuando definen una inmersión como una función de $f: X\rightarrow Y$ donde $X$ $Y$ son colectores con el dim$X <$ dim$Y$ tal que $df_x: T_x(X)\rightarrow T_y(Y)$ es inyectiva.

Me preguntaba ¿por qué no nos vamos a $f$ ser inyectiva y decir que es el mejor de los casos podemos obtener la condición de la dim$X <$ dim$Y$(ya que bajo esta condición, no podemos aplicar el teorema de la función inversa)?

También hace inyectividad de $df_x$ inply la inyectividad de $f$ (parece que yo no puedo probarlo)?

¿Cómo debemos imagen de inmersión (algo así como el espacio de la tangente de $X$ siempre se "sumerge" en el espacio de la tangente de $Y$)?

Gracias por la ayuda de todos!

Answer 1

Pensar en una partícula que se mueve alrededor de una figura 8 con velocidad en ninguna parte cero. Esta curva paramétrica te da un % de inmersión $f\colon\mathbb R \to\mathbb R^2$que no es inyectiva. Si se restringe el dominio para que sea una biyección (lo que puede hacer), la imagen no es una subvariedad pero se llama una subvariedad sumergido.

Answer 2

Creo que un vistazo en la wikipedia el artículo de ayuda. Inmersiones por lo general no son inyectiva, ya que la imagen puede aparecer "nudos" en el espacio de destino.

No creo que se necesite $\dim X<\dim Y$ en general. Puede definir por $\dim X=\dim Y$, es sólo porque necesitamos $df_{p}$ a tiene rango igual a $\dim X$ que te hizo la "necesidad" $\dim X\le \dim Y$.

Creo que se puede encontrar en la clásica topología diferencial/colector de libros ( Boothby s ) que una inmersión a nivel local es una inyección de mapa de $$\mathbb{R}^{n}\times \{0\}\rightarrow \mathbb{R}^{m+n}$$puede intentar demostrar esto a través de teorema de la función inversa o teorema de la función implícita. La prueba es bastante estándar.