El artículo de la Wikipedia se ha vinculado a describe los diferentes tipos de integridad bastante bien, pero hay algunas conexiones interesantes entre ellos. En primer lugar, integridad semántica (todo lo verdadero es comprobable) no implica sintáctica integridad (cada frase o su negación es demostrable), ya que hay frases que son contingentes (por ejemplo, $A \lor B$), y el cálculo proposicional (un semánticamente completo de cálculo) no será capaz de probar cualquiera de $A \lor B$ o $\lnot(A \lor B)$.
A la primera pregunta, un deductivamente sistema completo no necesita ser consistente. El trivial contraejemplo es que un sistema resulta incoherente de todo, y por lo tanto resulta $\phi$ o $\lnot\phi$ por cada $\phi$ (de hecho, se demuestra tanto!).
A la segunda pregunta, deductivamente sistema completo no necesita ser (semánticamente) completa. Hemos sido capaces de construir, por ejemplo, una esotérica de cálculo con extraños prueba de normas que garanticen que para cada fórmula $\phi$, $\phi$ o $\lnot\phi$ es un teorema. Por ejemplo, dado el lenguaje proposicional con variables $A$, $B$, $C$, $\dots$, las conectivas $\lnot$, $\land$, $\lor$, y $\to$,, donde formó fórmulas están definidos como de costumbre, tome como su sistema, simplemente los dos siguientes esquemas de axioma:
- $\phi$ donde $\phi$ es un wff en que $\land$ aparece un número impar de veces
- $\lnot\phi$ donde $\phi$ es un wff en que $\land$ no aparece un número impar de veces
Ya que cada fórmula $\phi$ tiene un número impar de $\land$s, en cuyo caso $\phi$ es un teorema, o no, en cuyo caso $\lnot\phi$ es un teorema, el sistema es deductivamente completa. Teoremas de este sistema incluyen
\begin{gather*}
\lnot A \qquad A \land B \qquad \lnot(A \land (B \land C))
\end{reunir*}
Es bastante obvio que no semánticamente completa (hay frases que no probar) e incluso irracionales (que no son de verdad de las oraciones que lo hace probar), pero es sintácticamente coherente (que no demuestra que $\phi$$\lnot\phi$).
En suma, un deductivamente sistema completo no necesita ser (sintácticamente) consistente (nunca prueban $\phi$$\lnot\phi$), sonido ($\vdash \phi$ implica $\models \phi$), o (semánticamente) completa ($\models \phi$ implica $\vdash\phi$).
Sería un ejercicio interesante para determinar qué combinaciones de estos puede ser tenido en una prueba del sistema, aunque. En los ejemplos anteriores vimos deductivamente sistemas completos que fueron:
- incoherentes, irracionales, y (semánticamente) completa;
- en consonancia, la precariedad, y (semánticamente) incompleta;
Sin especificar una particular interpretación de las variables proposicionales, no podemos tener un sonido deductivamente sistema completo, porque el resultado completo del sistema tiene que hacer algún juicio sobre el contingente de las sentencias. Cualquier inconsistente sistema será automáticamente (semánticamente) completa, por lo que el único caso posible de que no hemos visto es uno que es:
- en consonancia, la precariedad, y (semánticamente) completa.
Tal sistema podría ser alcanzado si una asignación de variable proposicional fueron parte de la prueba del sistema. Por ejemplo, el estándar de cálculo proposicional como un punto de partida. A continuación, supongamos que una determinada interpretación de la $\cal I$ de variables proposicionales (como fácil, dejar a cada variable proposicional ser cierto). El estándar de cálculo proposicional es consistente y semánticamente completa, por lo que los tenemos. Para obtener la solidez, también vamos a añadir el axioma esquema de la regla de inferencia:
- $\phi$ si $\cal I \models \phi$.
Esto tendrá el efecto de hacer todo lo contrario contingente frase (o su negación) un teorema. Ya que el cálculo proposicional es semánticamente completa, la única $\phi$ tal manera que ninguno de $\phi$ ni $\lnot\phi$ es un teorema son contingentes frases, pero ahora los han corregido, por lo que el sistema resultante es consistente, la precariedad de la (ya que, por ejemplo, $\vdash A \land B$$\not\models A \land B$), y semánticamente completa.
