Esta es una gran pregunta! Sé que no hay referencias de los hechos siguientes y estoy bastante seguro de que uno puede hacer declaraciones más generales, pero estos son los que he visto en la práctica.
1) Sí, al menos cuando se $R$ es un anillo. De hecho, $H_{*}(X, R)$ puede ser definida como la homología de $C_{*}(X, R)$, la cadena complejo que en el grado $n$ es el $R$-módulo generado por singular $n$-simplices de $X$. Este es un delimitada por debajo proyectivo complejo de cadena y por lo tanto, si el mapa inducida por $f$ es un cuasi-isomorfismo, debe ser ya un homotopy de equivalencia. Por lo tanto, el mapa es todavía un cuasi-isomorfismo después de aplicar el $Hom_{R}(-, R)$ cual es la manera de calcular cohomology de un espacio.
Para 2), 3) el estándar siguiente truco simplifica el análisis. Mediante la sustitución de $Y$ por una asignación de cilindro en necesario, podemos suponer que la $f: X \rightarrow Y$ es una inclusión. Así, por ejemplo, para probar 2) y 3) es suficiente para demostrar que cuando se $H^{*}(Y, X, \mathbb{Z}) = 0$ también $H_{*}(Y, X, \mathbb{Z}) = 0$ (por el correspondiente tiempo exacto de secuencias). Este es el caso con el añadido de la suposición de que la homología de $(Y, Z)$ es finitely generado, para lo cual es suficiente para que ambos $Y, X$ han finitely generado homología.
De hecho, no trivial infinito cíclico sumando en $H_{n}(Y, X, \mathbb{Z})$ aparecería en $H^{n}(Y, Z, \mathbb{Z})$ (como su subquotient es $Hom(H_{n}(Y, Z, \mathbb{Z}), \mathbb{Z})$ por universal coeficiente). Por otro lado, cualquier finito cylic sumando aparecería como $0 \neq Ext^{1}(\mathbb{Z}_{k}, \mathbb{Z}) \subseteq Ext^{1}(H_{n}(Y, X, \mathbb{Z}), \mathbb{Z}) \subseteq H^{n+1}(Y, X, \mathbb{Z})$ nuevo por universal coeficiente.
[Observe que anteriormente he usado universal para el coeficiente de relación de co(homología) de $(Y, X)$. Esto es posible ya que el teorema es de hecho una declaración de álgebra homológica sobre delimitada por debajo de libre $\mathbb{Z}$-complejos (de los cuales la relación singular complejo de $(Y, Z)$ es un ejemplo.)]
