Una interesante suma de los infinitos términos

Question

¿Hay alguna forma sencilla de calcular la siguiente suma?

$$\sum_{k=1}^\infty \frac1{k\space k!}$$

Answer 1

En primer lugar, consideremos el poder de la serie para $e^x$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$. Ahora resta fuera del término constante y dividir por $x$: $\displaystyle{\frac{e^x-1}{x} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{k!}}$. Ahora integrar: $\displaystyle{\int_0^x \frac{e^t-1}{t} dt = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k\cdot k!}}$ (tenga en cuenta que el límite inferior es dictada por el término constante). Por último, evaluar en $x=1$; el valor de su suma es el valor de la integral definida en el $\displaystyle{\int_0^1 \frac{e^t-1}{t} dt }$. Wolfram Alpha evalúa esta a $\mathrm{Ei}(1)-\gamma$, por lo que probablemente no hay mejor forma cerrada que eso.

Answer 2

La integral exponencial de la función se puede escribir como:

$$ \mathrm{Ei}(x) = \gamma + \log|x| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\ k!} $$

Enchufe $x = 1$ para obtener:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\ k!} = \mathrm{Ei}(1) - \gamma $$

Donde $\gamma$ es de Euler–Mascheroni constante y $\mathrm{Ei}(1)$ está dado por A091725.

Answer 3

$\def\d{\delta} \def\e{\epsilon} \def\g{\gamma} \def\pv{\mathrm{PV}} \def\pv{\mathcal{P}} \def\pv{\mathrm{P}}$Nos muestran otra forma de obtener la representación integral de la suma y explicar su relación con la integral exponencial.

Vamos $$S(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k k!}.$$ La suma que nos interesa es $S(1)$, pero, como es a menudo el caso, es más fácil conseguir que la suma de cualquier $x>0$. (Hay una sencilla extensión para $x<0$.) Observe que $$\begin{eqnarray*} S'(x) &=& \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{k!} \\ &=& \frac{1}{x}\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{k}}{k!} - 1\right) \\ &=& \frac{e^x-1}{x}. \end{eqnarray*}$$ Por lo tanto, $\displaystyle S(x) = \int_a^x dt\, \frac{e^t-1}{t}.$ Para encontrar $a$ solo aviso que $S(0) = 0$, lo $a=0$, $$S(x) = \int_0^x dt\, \frac{e^t-1}{t}.$$

El argumento de la integral está perfectamente bien educados en $t=0$, por lo que $$\begin{eqnarray*} S(x) &=& \lim_{\e\to 0} \int_\e^x dt\, \frac{e^t-1}{t} \\ &=& \lim_{\e\to 0} \left( \int_\e^x dt\, \frac{e^t}{t} - \int_\e^x dt\,\frac{1}{t} \right) \\ &=& \lim_{\e\to 0} \left( \pv \int_{-\infty}^x dt\,\frac{e^t}{t} - \pv \int_{-\infty}^\e dt\,\frac{e^t}{t} -\log x + \log \e \right) \\ &=& \lim_{\e\to 0} \left( \mathrm{Ei}(x) - \mathrm{Ei}(\e) - \log x + \log \e \right) \\ &=& \lim_{\e\to 0} \left( \mathrm{Ei}(x) - (\g + \log \e) - \log x + \log \e \right) \\ &=& \mathrm{Ei}(x) - \g - \log x. \end{eqnarray*}$$ (Ver más abajo para una derivación de $\mathrm{Ei}(\e) = \g + \log \e + O(\e)$.) Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k k!} = \mathrm{Ei}(x) - \g - \log x$$ y así $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k k!} = \mathrm{Ei}(1) - \g.$$

Algunos detalles

Anteriormente se utiliza la definición de la integral exponencial $$\mathrm{Ei}(x) = \pv \int_{-\infty}^x dt\,\frac{e^t}{t},$$ donde $\pv\int$ representa el valor principal de Cauchy, y la expansión de la serie de $\mathrm{Ei}(x)$ pequeña $x$, lo cual se derivan ahora. Dividir la integral, $$\begin{eqnarray*} \mathrm{Ei}(x) &=& \lim_{\d\to0}\left[ \underbrace{\int_{-\infty}^{-\d} dt\,\frac{e^t}{t}}_{I_1} + \underbrace{\int_{\d}^{x} dt\,\frac{e^t}{t}}_{I_2} \right]. \end{eqnarray*}$$ Para $I_1$, vamos a $t=-s$ e integrar por partes,
$$I_1 = \log\d - \int_\d^\infty ds\, e^{-s}\log s.$$ Para $I_2$, Taylor expandir $e^t$ e integrar, $$I_2 = \log x - \log\d + O(x).$$ Por lo tanto, $$\begin{eqnarray*} \mathrm{Ei}(x) &=& \lim_{\d\to0}\left[ \left(\log\d - \int_\d^\infty ds\, e^{-s}\log s\right) +\left(\log x - \log\d + O(x)\right) \right] \\ &=& \g + \log x + O(x), \end{eqnarray*}$$ donde reconocemos la representación integral de Euler-Mascheroni constante, $\g = -\int_0^\infty ds\,e^{-s}\log s$.

Aviso que si seguimos los términos de orden superior en la expansión de $I_2$ nos íbamos a encontrar $$\mathrm{Ei}(x) = \g + \log x + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k k!},$$ la correcta expansión de la integral exponencial para $x>0$. De hecho, esto inmediatamente le da a nuestros suma, $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k k!} = \mathrm{Ei}(1) - \g.$$ Este es el enfoque de @Ayman Hourieh.