Algunos usuarios mente bogglingly experto en integración. ¿Cómo llegaron allí?

Question

Mirando a través de los viejos problemas, no es difícil ver que algunos usuarios están más allá de los increíbles en el cómputo de las integrales. Sólo tomó un par de segundos para desenterrar un ejemplo como este.

Especialmente en un mundo donde la mayoría de los científicos calcular las integrales numéricamente, me parece increíble que la gente que puede resolver estos problemas de manera analítica. A veces resulta verdaderamente extraño contorno, algunos ejemplos de uso de funciones auxiliares y de diferenciación bajo el signo integral de una manera que se siente más como la integración de la magia.

Algunos de estos usuarios parecen haber dominado una gran cantidad de funciones especiales para un nivel de fluidez que es casi inimaginable para mí. Las manipulaciones que impliquen la función de error casi parece el trabajo de un niño en comparación con algunos de estos aparentemente casual manipulaciones que impliquen la función de Airy, Barnes G función, la de Legendre chi función y muchos más. Cada vez que leo un post de ellos, se convierte en un ejercicio de lectura sobre otra función especial, nunca he oído hablar de.

Mi pregunta es qué tipo de material tienes para estudiar, o qué tipo de área que usted tiene que trabajar en conseguir tan bueno? A mí, no me parece tan obvio como decir algo como, "oh, ellos saben que este material debido a que son un topologist".

Answer 1

No me atrevo a dar una respuesta a esto, porque se siente muy presuntuosa, pero tal vez me puede dar algo útil y que no simplemente de repetir lo obvio o sucumbir a la narcisismo de mi parte.

Primero de todo, voy a decir algo obvio, como @FireGarden ha señalado. ¿Cómo se llega a Carnegie Hall? La práctica! La gente que yo considero a la integración de los gurús en este sitio (@sos440, @O. L, @RandomVariable, @robjohn, @achillehui, perdóname si he dejado a nadie fuera) no me parecen Ramanujan-como los eruditos que reciben su inspiración de la diosa Namagiri. Más bien, estas son personas que claramente 1) el amor de trabajo fuera de las integrales (y sumas y cantidades relacionadas con), y 2) el trabajo de un enorme número de problemas, completo y en gran detalle. Así que, sí, el trabajo duro y el entusiasmo explicar mucho.

Esto no significa, sin embargo, que sentarse con un libro de texto, y solo el trabajo de los ejercicios en una aburrida repetición. A lo que me refiero es la práctica de la aplicación de sus conocimientos a los nuevos, problemas interesantes. Encontrar los problemas que parecen imposibles para ti ahora mismo. Tal vez son, pero te garantizo que alguien lo ha resuelto. Aquí están algunos de los lugares para encontrar interesantes y desafiantes problemas:

• Putnam examen problema de los archivos (empezar aquí); tenga en cuenta que varios de Putnam examen de los problemas se resuelven en Matemáticas.SE.
• Actuariales P examen (toneladas de integrales dobles sobre regiones interesantes, así como interesantes único integrales en el contexto de la probabilidad de cómputos, he aquí una muestra)
• De posgrado de Física de textos (fuente de muchas de las integrales que se encuentran aquí)

Pero la práctica no es la única cosa. La gran verdad aspecto de un foro como se es que todos aprendemos unos de otros. Así, como se mira a estos excelentes soluciones, no te preocupes acerca de cómo el autor se le ocurrió la idea. La preocupación, en cambio, sobre el aprendizaje de la comprensión, y ver si se pueden aplicar las lecciones en otros lugares. Me pueden decir que tengo totalmente beneficiado de la lectura a través de las soluciones de mis compañeros aquí. Aquí nadie es una isla.

No se deje intimidar por funciones especiales; usted aprenderá acerca de ellos, como usted los necesita. Funciones especiales son realmente apenas de alta falutin definiciones que a una persona u otra ha encontrado útil en algún momento. Que sólo son útiles cuando se puede ser calculado en mucho menos operaciones de una evaluación numérica de la integral de la definición de ellos. (He vociferado acerca de esto antes.) Que no impliquen un nivel de maestría, sino más bien un nivel de familiaridad con el arte. Personalmente no tengo ningún problema con las respuestas que se expresa en términos de funciones especiales como el tiempo que representan la más simple forma cerrada de una solución. Ocasionalmente, uno encontrar presumidos que el uso de la fantasía funciones especiales cuando una mucho más simple formulario hace el truco; generalmente están expuestos.

Así, lo que quieres aprender? En orden decreciente de importancia: 1) Calc II técnicas de integración (que es crucial para el maestro), 2) Mathematica/Maple (para algebraico y numérico de verificación), 3) ecuaciones diferenciales Ordinarias (por la exposición a los básicos y funciones especiales de la serie de soluciones técnicas), 4) análisis Complejo (porque el residuo teorema es muy útil), 5) la Integral se transforma (Laplace, Fourier), aunque más por el frío integrales a hacer más bien que cualquier "técnicas" enseñado, 6) de Laplace del Método, el Método de Steepest Descent, Watson Lema, y como asintótica métodos, 7) métodos Estadísticos, especialmente los varios archivos Pdf se utiliza en diversos contextos. En algunos casos, el conocimiento de Lebesgue la integración puede ser útil (aunque me declaro culpable de la inexperiencia).

Espero que esto ayude. He probabilidades de izquierda cosas, así que puede que tenga más que decir.

Answer 2

Antecedentes Personales

Yo soy de ninguna manera un experto en la integración, pero me han hecho una buena parte de ella. La integración es como un hobby para mí. En lugar de resolver los puzzles o acertijos, me encanta la evaluación de las integrales. Como un ejemplo, yo estoy en el proceso de escribir algunas notas personales sobre la integración. Esperemos que al menos las preguntas serán traducidos no demasiado tiempo en el futuro.

Así como la escritura de esas notas, tengo una licenciatura en la universidad. Aquí he tomado como muchos temas relacionados a la integración como sea posible. La Teoría analítica de números, la Mecánica Cuántica, análisis Complejo, etc.

Muchas de las afirmaciones de que la integración es un arte. Para continuar con la analogía, ¿cómo puede uno convertirse en un maestro del "arte"? Naturalmente, la forma más fácil es ser un natural born genio como Leonardo Da Vinci (o Ramanujan). Por suerte, esta no es la única manera. Si usted quiere ser bueno en algo tienes que entrenar duro, con el fin de máster algo que usted tiene que trabajar diez veces más difícil que eso.

Pasos principales

A continuación se presentan los principales pasos (en mi humilde opinión) en el camino hacia una integración de dios/diosa.

• Leer libros, periódicos, revistas, etc acerca de la integración.
• Leer libros, papeles en diferentes áreas de las matemáticas.
• Resolver una cantidad ridícula de problemas

Que básicamente se reduce a encontrar interesante integrales, resolverlos y repetir, repetir, repetir ad absurdum.

Específicas de los libros y papeles

Libros acerca de la integración

(tabla de integrales, series y productos, Gradshteyn y Ryzhik) Puede ser complicado para buscar a veces, pero tiene una cantidad insana de las fórmulas de allí. El libro está siendo constantemente revisado en busca de errores y nuevas integrales se agregan en cada nueva edición. La búsqueda digital de la versión es en mi opinión mucho mejor.

(Irresistible Integrales, Boros y Moll) Considerado como el santo grial de la integración simbólica entre los muchos libros. Creo que es un buen libro, pero no es mi favorito personal. Es un poco desordenado y difícil de navegar. Yo prefiero los excelentes artículos de Victor Moll en su lugar.

(Manual de integración, Daniel Zwillinger) yo soy bastante aficionado a este libro. El libro es tal vez un poco corto, pero lo compensa siendo muy útil y tiene una naturaleza cantidad de referencias adicionales.

(Dentro interesante integrales, Nahin) No es una de mis favoritas. Aunque creo que muchos otros lo disfruten. Se trata de explicar la razón detrás de integración y de cómo venir para arriba con las diferentes técnicas y habilidades. Esto se hace bien, y el libro tiene una cantidad decente de los problemas que el lector se anima a resolver a lo largo del libro. A pesar de que yo había visto la mayoría de los problemas antes de que me gustaba de las referencias y de algunas de las ideas que se discuten.

(La Función Gamma, Artin) yo uso este libro algo así como un diccionario de sinónimos. Si hay alguna de las propiedades de la función gamma o una prueba tengo que estudiar yo solo veo aquí. Me gustó el fondo histórico y el escrito de las pruebas. En algún momento estos pueden ser un poco demasiado prolijo, pero la presentación de la Bohr-Mullerup teorema es mucho más clara presentada que en, por ejemplo, Bebé Rudin.

Documentos

En comparación con los libros hay literarly cientos de artículos interesantes acerca de la integración. Me limitaré a mencionar un puñado aquí

(La Integral De Gauss, Keith Conrad). Exactamente lo que dice en la lata. Una colección de pruebas para el clásico $\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ integral.

La siguiente parte es más una colección de artículos. Mira los papeles escritos por Víctor Moll, en colaboración con varios otros. Como ejemplo, ha escrito un artículo en una clase de logarítmicas integrales. Me gustó mucho su serie de artículos sobre demostrando fórmulas de (Gradshteyn y Ryzhik). Véase, por ejemplo $R(x) \log x$ o $\psi(x)$. Parece que han quitado estos artículos de su página de inicio, en preporation para su libro. Que puedo decir que estoy deseando.

(La Función Gamma, 0504432) Este es un bonito papel, escrito por un estudiante. La similitud entre este documento y el libro "La función Gamma" es notable. Sin embargo, si uno no quiere leer un libro entero esta es una presentación clara y concisa. Nota: Tanto en el libro y en este artículo skimps en algunos detalles. Algunas pruebas se omiten y en otros no son lo suficientemente claras. Para obtener algo más profundo resultados uno puede, por ejemplo, leer el siguiente artículo.

("Avanzado" Técnicas de Integración, Michael Dougherty) me tomé la libertad de agregar comillas alrededor de avanzada. Este es un sencillo y limpio tratado de la integración básica de las técnicas. Lo que realmente me llamó la atención fue que las trampas de sustituciones y la presentación clara de sustituciones trigonométricas. Este es, quizás, muy por debajo de lo que usted está buscando. Sin embargo, me pareció que vale la pena leer, incluso si sabía que la teoría de antemano.

Hay muchos otros buenos artículos. Algunos de derivación bajo el signo integral, mientras que otros pasan de 30 páginas sobre la historia detrás de la función gamma.

Sitios web

Intercambio de la pila tiene también muchos formulado preguntas acerca de las integrales, sin embargo, hay otros sitios también.

(mathematica.gr) Un sitio útil para los osos y los compañeros. Este hilo en particular, se ocupa de integrales definidas. Este fue el hilo que me ayudó a aprender el contorno de la integración, mientras que el estudio de complejos análisis.

(Avanzadas técnicas de integración, Zaid Alyafeai) me pregunto donde todo el mundo viene con tales nombres originales. De todos modos, el hilo es muy agradable. Toma un pico en algunas funciones especiales y muestra varias maneras de probar el de Euler-reflexión formula $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin \pi z$. Me gustó especialmente la prueba con la convolución.

Los libros que contienen interesantes de integración

Los buenos libros.. me gustó Gamelin para el Análisis Complejo, Apostol de la teoría analítica de números, así comoLa Teoría de la Riemann Zeta Función, Titchmarsh)

(Introducción a la Mecánica Cuántica, Griffiths) Considerado como uno de los mejores introdction libros QM. También está lleno a rebosar con más o menos interesante de las integrales. También introduce Lagrange, Laguerre y los polinomios de Bessel. También el libro está escrito en un maravilloso y de manera personal. Realmente un libro de un matemático puede leer para la alegría.

Ridícula cantidad de problemas

(Integral Kokeboken, Nabucodonosor) sé que es un poco raro, a citar a mí mismo. Sin embargo, estas notas contienen una gran cantidad de inteligente y lindo integrales. Después de resolver cada problema en la sección intermedia es quizás aún no es un "maestro integrador", pero al menos uno ha de dar un salto hacia adelante.

(Integración de Abeja) de Nuevo, tal vez un poco demasiado bajo nivel. Estos son viñeta problemas de integración. Algunos son de forma torcida duro, pero otros pueden ser resueltos en cuestión de segundos. La idea es que usted está dado de 20 problemas y 30 minutos para resolver, como muchos como usted puede.

(El arte de la Resolución de problemas) Este sitio web era mejor antes, pero todavía tiene un buen número de interesantes problemas de integración. En particular, el usuario kunny una.k.una. Kunihiko Chikaya tiene una enorme lista de Japonés de la universidad de problemas. Tenga en cuenta que la mayoría de estos problemas son acerca de la integración o algún tipo de inteligente derivación.