Demostrar eso si la $\gcd(a,b)=1$, entonces el $\gcd(a+b,ab)=1$

Question

Necesito demostrar que:

Si $\gcd(a,b)=1$, entonces el $\gcd(a+b,ab)=1.$

Hasta ahora he utilizado lo que se da por lo que tengo:

$ax+by=1$ (Escribí el MCD de a y b como una combinación lineal)

y

$(a+b)u+ab(v)=1$ (También escribí esta como una combinación lineal)

¿a dónde voy de aquí?

Answer 1

Asumir que esto no es cierto.

Que gcd $(a+b,ab)=m>1$. Entonces existe un número primo $p$ que se divide el $m$.

Si $p\mid a+b$ y $p\mid ab$, entonces se divide de $p$ $a$o $b$.

Asumir que $p\mid a$. Pero entonces $p\mid a+b$ implica que el $p\mid b$ y por lo tanto $p\mid\,$MCD $(a,b)$, que es una contradicción.

Nota. Hemos utilizado el hecho de que: si $p$ es un primo y divide a $p$ $ab$ entonces divide a $p$ $a$ o $b$.

Answer 2

A continuación es una prueba más complicados pero más primitivo que la prueba de Yiorgos. Por identidad de Bezout, tenemos que existe $x,y \in \mathbb{Z}$ tal que

$$ax + by = 1.$$

Cuadratura de ambos lados, vemos que

$$a^2 x ^ 2 + 2abxy + b^2 y^2 = 1.$$

Pero tenga en cuenta que

$$a^2 x ^ 2 + 2abxy + b^2 y^2 = ab(2xy-x^2-y^2) + (a+b)(ax^2+by^2).$$

Y por lo tanto, esos mismo $x,y$ como

$$ ab(2xy-x^2-y^2) + (a+b)(ax^2+by^2) = 1.$$

Por lo tanto debe ser que $\gcd{(a+b,ab)} = 1$.

Answer 3

Me gusta empujar los límites del Algoritmo euclidiano. Vamos a hacer nuestro mejor esfuerzo para elimiante $b$'s:

$$\begin{align} \gcd(a+b, ab) &= \gcd(a+b, ab - a (a+b)) \\&= \gcd(a+b, -aa) \\&= \gcd(a+b, a^2) \end {Alinee el} $$

Puesto que también tenemos $\gcd(a+b, a) = 1$, podemos inferir que $\gcd(a+b, a^2) = 1$.

Answer 4

Estamos dado $\gcd(a,b) = 1$, y de la identidad de Bézout tenemos $\gcd(a,b) = 1 \iff \exists x,y: ax + by = 1$ % entero $x$y $y$.

$1 = ax + by = ax + bx - bx + by = (a + b)x + b(y - x)$, que $\gcd(a+b,b) = 1$. Asimismo, $\gcd(a+b,a)=1$ porque $(a + b)y + a(x - y) = 1$

$$\begin{align} 1 &= ((a + b)x + b(y - x))((a + b)y + a(x -y)) \\&= (a+b)(a+b)xy + (a+b)a(x-y) + (a+b)b(y-x)y + ab(y-x)(x-y) \\&= (a+b)[(a+b)xy + a(x-y) + b(y-x)] + ab[(y-x)(x-y)] \end {Alinee el} $$

Así $\gcd(a+b,ab) = 1$.

Answer 5

Prueba roto en lemas:

Lema 1: Si $n$ rel. primer a $a$ $n$ rel. primer a$b$, $n$ rel. primer a $ab$.

Prueba: multiplicar el Bezout identidades de las dos hipótesis.

Lema 2: Si $a$ $b$ rel. primo, entonces ambos son rel. primer a $a+b$.

Prueba: basta con comprobar si $a$ $b$ rel. prime, a continuación, $b$ rel. primer a $a+b$. Tenemos la identidad de Bezout: $a x + by = 1$. Ahora a sumar y a restar $bx$ a la izquierda.

Conclusión: Nos da $a$ $b$ rel. prime. Por la 2ª lema, $a+b$ rel. el primer tanto $a$$b$. Por el primer lema, $a+b$ rel. primer a $ab$.