¿Cómo se puede simplificar esta expresión?

Question

Factorizar %#% $ de #% he intentado de diferentes maneras pero no pudo. Deseo alguien podría ayudar a resolverlo hacia fuera.

Answer 1

Si pensamos en esto como un polinomio en la variable $a$, es $0$ $a=b$, también si $a=c$. Así $a-b$ y $a-c$ divide el polinomio. Por simetría $b-c$ divide el polinomio. Así que el polinomio debe ser igual a $(a-b)(a-c)(b-c)$ veces una constante. En este caso la constante es $1$.

Answer 2

Una solución de alta escuela:

Para esto usted tiene que romper la simetría entre todas las variables. Explícitamente, escribimos $\;c-a=(c-b)+(b-a)$. Así\begin{align*} a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)&=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\\ &=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-b)+ca(b-a)\\ &=(a-b)(ab-ac)+(b-c)(bc-ac)\\ &=a(a-b)(b-c)+c(b-c)(b-a)\\ &=-(a-b)(b-c)(c-a) \end{align*}

Answer 3

Una simplificación de la respuesta de André:

La expresión es una cuadrática polinómico en $a$ que se desvanece cuando $a=b$ o $a=c$. El coeficiente líder es claramente $b-c$. Por lo tanto la expresión es $(b-c)(a-b)(a-c)$.

Answer 4

Otra prueba. Por la expansión de Laplace (a lo largo de la última fila):

$$ -\sum_{cyc}a^2(b-c) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix},\tag{1}$ $ Pero el lado derecho es una matriz de Vandermonde, cuyo determinante es bien conocido.

Eliminación Gaussiana da: $$ D=\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{pmatrix} \tag{2}$ $ y expandiendo a lo largo de la primera fila y factoring $(b-a)$ y $(c-a)$: $$ D = (b-a)(c-a)\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a\end{pmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b).\tag{3}$ $

Answer 5

SUGERENCIA:

Creo que quisiste decir factorización

$$a^2(b-c)+b^2(c-a)=-c(a^2-b^2)+ab(a-b)=?$$