¿Son estos módulos cociente isomorfos?

Question

Deje $K$ ser una expresión algebraica campo del número y $\mathcal{O}_K$ su anillo de enteros.

Para un no-cero ideal $\mathfrak{a}$ $\mathcal{O}_K$ y un elemento $c \in \mathcal{O}_K \setminus \{0\}$ me pregunto si siempre tenemos un isomorfismo $$ \mathfrak{a} / c \mathfrak{a} \cong \mathcal{O}_K / (c) $$ como $\mathcal{O}_K$-módulos? Si sí, ¿por qué?

Mediante el inverso (fraccional) ideal $\mathfrak{a}^{-1}$, uno podría ingenuamente "calcular" $$ \mathfrak{a} / (c) \mathfrak{a} \cong \mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1} / (c)\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1} = \mathcal{O}_K / (c)\mathcal{O}_K = \mathcal{O}_K / (c). $$ Pero (otra vez) yo no sé cómo justificar el isomorfismo.

Pregunta adicional

Es más fácil, de alguna manera, mostrar sólo los $ [\mathfrak{a} : c \mathfrak{a}] = [\mathcal{O}_K : (c)]$ ? Esto me ayudaría demasiado :-).

Answer 1

La respuesta es sí, pero esto no es trivial, y el isomorfismo no es canónica (que depende de la elección). En realidad esto es cierto para cada dominio de Dedekind $R$. En primer lugar, he estado un lema:

Deje $R$ ser un dominio de Dedekind, $\mathfrak{a}, \mathfrak{b} \subset R$ ideales de $R$. Entonces existe $\alpha \in \mathfrak{a}$ tal que $$\alpha \mathfrak{a}^{-1} + \mathfrak{b} = R$$

Aplicar este lema a $\mathfrak{a}, (c)$. De modo que existe $\alpha \in \mathfrak{a}$ tal que $$\alpha \mathfrak{a}^{-1} + (c) = R$$ multiplicando por $\mathfrak{a}$ obtenemos la relación $$(\alpha ) + (c)\mathfrak{a} = \mathfrak{a}$$ de la que podemos deducir que el $\alpha \notin c\mathfrak{a}$.

Ahora, definir el mapa $$\begin{matrix} f : &R& \to & \mathfrak{a} / c\mathfrak{a} \\ &x& \mapsto & \alpha x+ c\mathfrak{a} \end{de la matriz}$$ debe ser surjective, y el núcleo debe ser $(c)$. Por lo tanto $f$ induce un isomorfismo $$R/(c) \cong \mathfrak{a} / c\mathfrak{a} $$

Answer 2

Deje $R$ ser un dominio de Dedekind y $I,J$ dos a cero a los ideales de la $R$. A continuación, $$I/JI\simeq R/J.$$

En esta respuesta he demostrado que no es un ideal de a $I'$ tal que $I\simeq I'$$I'+J=R$. Pero $I\simeq I'$ es equivalente a $\exists x\in Q(R)$, $x\ne 0$ tal que $I'=xI$. (Aquí se $Q(R)$ denota el campo de fracciones de $R$.) De $xI+J=R$ obtenemos $xI\cap J=xIJ$. A continuación, $$R/J=(xI+J)/J\simeq xI/xI\cap J=xI/xIJ\simeq I/IJ.$$