expandir $ \arctan\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)$ en serie de pwer, encontrar el radio de convergencia (solución de check)

Question

Agradecería si alguien podría comprobar lo que he trabajado a cabo:

$$ f(x)=\arctan\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)\implies f'(x)=\frac{1}{1+(\frac{3x+2}{3x-2})^2}\cdot \frac{3(3x-2)-3(3x+2)}{(3x-2)^2}$$

$$=\frac{(3x-2)^2}{(3x-2)^2+3x+2)^2}\cdot \frac{-12}{(3x-2)^2}=-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{1+(\frac{3}{2}x)^2}$$

$$=-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1+(\frac{3}{2}x)^2}=-\frac{3}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{2}x^2\right)^k $$

Que implica %#% $ #%

Radio de convergencia:

$$f(x)=\int f'(x)dx=-\frac{3}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{2} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right)$$

¿Es esto correcto? Gracias de antemano

Answer 1

Aquí es lo que está faltando,

$$ f(x)=\int f'(x)dx=-\frac{3}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left((-1)^k\frac{3}{2} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right) +C $$

$$ \implies f(0) = \arctan(-1) = 0 + C \implies C=-\frac{\pi}{4}. $$

Answer 2

Te perdiste $(-1)^k\left(\frac{3}{2}\right)^{k}:$ $$f'(x)=-\frac{3}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{2}x^2\right)^k=\frac{3}{2} \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\frac{3}{2}x^2\right)^k= \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{k+1} x^2.$ $Then $ $f (x) = \int {f'(x) \,dx} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1) ^ {k+1} \left (\frac {3} {2} \right) ^ {k+1} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}+C.$$ de $f(0)=\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$ tenemos $C=\dfrac{\pi}{4}.$