Posibles Duplicados: Una prueba de que los poderes de los dos no puede ser expresado como la suma de varios consecutivos enteros positivos que utiliza representaciones binarias?
Supongamos que tenemos una progresión aritmética $a_n= a_1 + (n-1)d$ tal que $a_i \in \mathbb{N}$. Si dejamos $d=1$, luego tenemos consecutivos de números naturales. Ahora, tenemos la garantía de que $$\sum_{i=1}^{k}{a_i}= \lambda, \lambda \in \mathbb{N}$$ Ahora, todos los elementos de a $\mathbb{N}$ son expresables en algunos $\sum_{i=1}^{k}{a_i}$ pero no es la única. Decir $\lambda = 15 = 1+2+3+4+5= 7+8.$ Pero si $\lambda = 2^n $ $\forall$ $ n \in \mathbb{N}^* $, no es $\sum_{i=1}^{k}{a_i}$ donde $d=1$.
¿Cómo podemos demostrar que todos los números naturales de la forma $2^n $ $\forall$ $ n \in \mathbb{N}^* $ no puede ser escrito como suma de números naturales consecutivos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No es un juego aparentemente sencillo primaria-número de la teoría de la aproximación a este problema.
Supongamos que tenemos un conjunto de números naturales consecutivos. Para un trivial suma de números naturales consecutivos a ser, incluso, hay un número impar de términos. Supongamos que tenemos $k$ términos, con $k$ impar. A continuación, hay una bien definida media/mediana del número. Llamarlo $n$. Entonces tenemos que la suma de los $k$ números es $kn$.
Te preguntas por qué $kn \not = 2^l$. Pero tenga en cuenta que $k$ es impar.
Aha - por lo que no puede suceder.
EDITAR
Ah, sí - me desapareció un poco, pero Andre hace un muy buen punto!
Así que, vamos a extender este para que funcione:
No es cierto que por una suma de números consecutivos a ser, incluso, debe haber un número impar de términos. Hay dos tipos de estas sumas: sumas como $1 + 2 + 3$ y sumas como $1 + 2 + 3 + 4$ (tal vez de tirar el número par en el otro lado - eso no es importante). La primera es considerado anteriormente.
En el otro caso, cuando hay un número par ($k$) los términos, entonces el mediano plazo es la mitad de un entero impar ($n/2$). Entonces, si pretendemos que $kn/2 = 2^l$, también estamos afirmando que $kn = 2^{l+1}$, con la misma contradicción, como en el argumento anterior.
Gracias Andre por decírmelo -
Daré la prueba numérica.
Además de palabras de mixedmath.
Tenemos: $\sum_{i=1}^{k}{a_i}$ y, por supuesto, $a_1 = n$ es igual a: $$n + (n+1) +\cdots + (n+(k-1)) = nk + (1+2+\cdots+(k-1)) = nk + \frac{k(k-1)}2 = \frac{k(2n + k - 1)}2$ $ Supongamos, que $\exists s\in\mathbb{N}$: $$ 2 ^ s = \frac{k(2n+k-1)} 2 $$ Vamos a multiplicar ambos lados por dos: $$ 2 ^ {s + 1} = k(2n+k-1) $$, $k$ No puede ser impar, porque $2^{s+1}$ tiene solamente incluso divisores, pero también puede no ser uniforme, porque suma $(2n+k-1)$ sería extraño. Por lo tanto, es imposible.
La reclamación como se dijo es falso. Si estipulamos que la secuencia tiene una longitud mayor de $1$ y todos los términos son positivos, entonces es cierto.
Considere la posibilidad de la identidad $$ \sum_{k=m}^n k=\frac12(n+m)(n-m+1)\etiqueta{1} $$ sostiene porque la suma consta de $n-m+1$ números cuyo promedio es $\frac12(n+m)$.
Tenga en cuenta que $(n+m)-(n-m+1)=2m-1$ es impar. Por lo tanto, uno o el otro de $n+m$ o $n-m+1$ debe ser impar.
Supongamos que la suma de $(1)$$2^j$. El único impar factor de $2^j$$1$, lo $n-m+1=1$ o $n+m=1$.
Caso $\mathbf{1}$: $\mathbf{n-m+1=1}$
Si $n-m+1=1$, entonces n=m y la suma es un singleton, $n$. Si $n=2^j$ esto contradice la demanda, a menos que estipulamos una secuencia tiene una longitud mayor que $1$.
Si la secuencia tiene más de un término, entonces no podemos tener el Caso de $1$.
Caso $\mathbf{2}$: $\mathbf{n+m=1}$
Si $n+m=1$, entonces uno de los términos debe ser menor que $1$. Además, la suma es entonces $\frac12(n-m+1)=n$ y de nuevo nos contradicen la afirmación de si $n=2^j$. Para este caso podemos tener $$ \begin{align} 1&=0+1\\ 2&=-1+0+1+2\\ 4&=-3+-2+-1+0+1+2+3+4 \end{align} $$ como contraejemplos.
Si la secuencia es todo positivo, entonces no podemos tener el Caso de $2$.
El problema como se indica permite que el Caso de $1$, pero no en el Caso de $2$. Sin embargo, si la secuencia tiene más de un término y todo es positivo, entonces la afirmación es verdadera.
