Cómo demostrar que $\lim_{n \to +\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1$ ?

Question

He pasado la mayor parte de este día tratando de demostrar desde los primeros principios que esta secuencia tiende a 1. ¿Podría alguien darme una idea de cómo puedo enfocar este problema?

$$ \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{1}{n}} $$

Answer 1

Puede utilizar $\text{AM} \ge \text{GM}$ .

$$\frac{1 + 1 + \dots + 1 + \sqrt{n} + \sqrt{n}}{n} \ge n^{1/n} \ge 1$$

$$ 1 - \frac{2}{n} + \frac{2}{\sqrt{n}} \ge n^{1/n} \ge 1$$

Answer 2

Dejemos que $\epsilon>0$ . Elija $N$ para que ${1\over N}<\epsilon$ . Observando que ${ n+1 \over n}<1+\epsilon$ para $n\ge N$ : $$ N+1\le N(1+\epsilon) $$ $$ N+2 \le (N+1)(1+\epsilon)\le N (1+\epsilon)^2 $$ $$ N+3 \le (N+2)(1+\epsilon)\le N (1+\epsilon)^3 $$ $$\vdots$$ $$\tag{1} N+k \le (N+k-1)(1+\epsilon) \le N(1+\epsilon)^k. $$ Utilizando $(1)$ tenemos para $n\ge N$ : $$ n=N+(n-N)\le (1+\epsilon)^{n-N}N; $$ que puede escribirse como $$ n\le B (1+\epsilon)^n, $$ donde $B=N/(1+\epsilon)^N$ .

Así, para $n\ge N$ tenemos $$\tag {2} \root n\of { n}\le B^{1/n}(1+\epsilon). $$ Desde $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} B^{1/n}=1$ se deduce de $(2)$ que $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of { n}\le 1+\epsilon$ .

Pero, como $\epsilon$ era arbitraria, debemos tener $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of {n}\le 1 $ .

Ya que, obviamente, $\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of {n}\ge 1 $ tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of {n}= 1 $ , según se desee.

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También se podría argumentar lo siguiente:

Note $\root n\of n>1$ para $n>1$ . Para $n>1$ , escriba $\root n\of n=1+c_n$ para algunos $c_n>0$ . Entonces, por el Teorema de Binonial tenemos, para $n>1$ , $$\textstyle n=1 +nc_n+{1\over2} n(n-1)c_n^2+\cdots\ge 1+{1\over2}n(n-1)c_n^2; $$ de donde $$ n-1\ge\textstyle {1\over2}n(n-1)c_n^2. $$ Así que, $c_n^2\le {2\over n}$ para $n>1$ de ahí que $$ 0<\root n\of n -1=c_n\le \sqrt{2/n} $$ para $n>1$ y el resultado es el siguiente.

Answer 3

Arreglar $ \epsilon > 0 $ . Entonces $\displaystyle \frac{(1+ \epsilon)^n}{n} \to \infty$ por la prueba de la proporción, por lo que para todos, excepto un número finito de $n$ tenemos $ 1 < \displaystyle \frac{(1+ \epsilon)^n}{n},$ que se puede reordenar como $\sqrt[n]{n} < 1+\epsilon .$ Así, $\sqrt[n]{n} \to 1.$

Answer 4

$$\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1/n} = \lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{1}{n} \ln n} = e^{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln n}$$

Con la regla de L'Hôpital se puede demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln {n} = 0$ . Así, $\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1/n} = e^0 = 1$ .

Answer 5

Veamos una prueba muy elemental. Sin pérdida de generalidad procedemos a sustituir $n$ por $2^n$ y conseguir eso: $$ 1\leq\lim_{n\rightarrow\infty} n^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty} {2^n}^{\frac{1}{{2}^{n}}}=\lim_{n\rightarrow\infty} {2}^{\frac{n}{{2}^{n}}}\leq\lim_{n\rightarrow\infty} {2}^{\raise{4pt}\left.n\middle/\binom{n}{2}\right.}=2^0=1$$

Por el Teorema del Apretón la prueba está completa.