Encontrar $\operatorname{argmax}_x \operatorname{corr}(Ax, Bx)$ % de vector $x$, % de matrices $A$y $B$

Question

¿Esto es similar a, pero no la correlación canónica, igual: $(n \times m)$ matrices $A$ $B$ y unidad de vector $(m \times 1)$ $x$, que es un cerrado - solución para maximizar la correlación entre $Ax$y $Bx$ w.r.t. $x$? Tenga en cuenta que estoy optimizando sobre un vector (en contraste con la correlación canónica).

Answer 1

Aquí es una respuesta para el caso $m>n$.

Escriba $x=(x_1,\ldots,x_m)^T,A=(a^{1},\ldots,a^{m}),B=(b^{1},\ldots,b^{m})$, que $Ax=\sum_{i\le m} x_ia^i$, $Bx=\sum_{i\le m} x_i b^i$. Desde $m>n$, columnas $a^i - b^i$ de la $A-B$ de la matriz son linealmente dependientes, es decir, hay $x$ tal que $Ax=Bx$. Este $x$ tenemos ${\rm corr}(Ax,Bx)=1$, es decir, es máximas.