Ideales máximos de productos directos de

Question

Máximas ideales de $R\times S$ son de la forma $A \times S$, donde $A$ es máxima en $R$, o de la forma $R\times B$, donde es máxima en $B$ $S$.

Empecé asumiendo $U$ es máxima en $R \times S$, $(R\times S)/U$ es un campo, que significa $((r,s)+U)((r',s')+U)=1+U$, donde $(r,s)$, $(r',s') \in R\times S$. Entonces obtenemos $(rr'-1,ss'-1)\in U$. Después de esto, no tengo ni idea dónde ir y cómo hacer la asunción que $U$ es máxima.

Answer 1

Probar que si $R_1, \dots, R_n$ son anillos, entonces los ideales de

$$R_1 \times \dots \times R_n$$

son todos de la forma

$$\mathcal{I}=\mathcal{I}_1 \times \dots \times \mathcal{I}_n$$

donde $\mathcal{I}_i \subseteq R_i$ es un ideal. [Sugerencia: considere lo que sucede cuando usted multiplica el ideal de la izquierda por $(1,0,\dots,0), (0,1,\dots,0),\dots$.]

Supongamos que $\mathcal{I}$ es tal que más de uno de los $\mathcal{I}_i$s'es diferente de $R_i$; entonces podemos sustituir uno de estos $\mathcal{I}_i$'s $R_i$ y conseguir un ideal correctamente contengan $\mathcal{I}$. Por lo tanto, un ideal maximal tiene todos los $\mathcal{I}_i$'s, pero uno igual a $R_i$. Está claro que el $\mathcal{I}_i$ $\mathcal{I}_i \neq R_i$ también es máxima.

Nota: no es cierto para los infinitos productos de anillos. Por ejemplo, $\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tiene una cantidad no numerable de máxima ideales, pero sólo countably muchos de los máximos ideales de la forma que acabamos de describir.

Answer 2

Comentario de Jacob prácticamente lo dice todo, pero aquí está el información:

Supongamos que $U$ contenido de $R=R\times \{0\}$ ni $S=\{0\}\times S$. Entonces podríamos escoger elementos distinto de cero $(r,0) \in R$ y $(0,s)\in S$, ninguno de los cuales se encuentra en $U$ y $$(r+U)(s+U)=rs+U=(0,0)+U$$ But of course a field does not contain zero-divisors. So $U $ must contain all of $R $ or all of $S $. Using the fact an ideal is maximal if and only if the quotient ring is a field, you can now easily show that the ideal $U$ es de la forma requerida.